Considere as funções
e
. Faça o que se pede em cada item:
b) A função h admite inversa? Se sim, encontre-a.
b) A função h admite inversa? Se sim, encontre-a.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisa descobrir se ela tem uma função inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa. Vamos usar conceitos de funções e inversas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, para uma função ter uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, tem que ser injetora (cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de valores possíveis de saída).
Passo 3
Vamos verificar se a função
é injetora. Uma maneira de fazer isso é analisar o comportamento da função. Como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, ela é estritamente crescente em todo o seu domínio (que é todos os números reais). Isso significa que para qualquer
, temos
. Portanto, não há dois valores diferentes de
que dão o mesmo
, confirmando que a função é injetora.
Passo 4
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. A função cúbica
cobre todos os números reais, e ao adicionar 2, ela apenas desloca o gráfico para cima, mas continua cobrindo todos os reais. Portanto, para qualquer valor real
, existe um
tal que
. Isso mostra que a função é sobrejetora.
Passo 5
Como a função
é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora e, consequentemente, admite uma função inversa.
Passo 6
Para encontrar a função inversa, vamos seguir os passos:
- Escrevemos
. - Resolvemos para
: - Substituímos
por para expressar a inversa em termos de :
Resposta
A função inversa de
é
.