Considere as funções f(x) = raiz(x + 5), g(x) = x^2 - 1 e h(x) = x^3 + 2. Faça o que se pede em cada item:
b) A função h admite inversa? Se sim, encontre-a.

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisa descobrir se ela tem uma função inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa. Vamos usar conceitos de funções e inversas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para uma função ter uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, tem que ser injetora (cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de valores possíveis de saída).

Passo 3

Vamos verificar se a função é injetora. Uma maneira de fazer isso é analisar o comportamento da função. Como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, ela é estritamente crescente em todo o seu domínio (que é todos os números reais). Isso significa que para qualquer , temos . Portanto, não há dois valores diferentes de que dão o mesmo , confirmando que a função é injetora.

Passo 4

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. A função cúbica cobre todos os números reais, e ao adicionar 2, ela apenas desloca o gráfico para cima, mas continua cobrindo todos os reais. Portanto, para qualquer valor real , existe um tal que . Isso mostra que a função é sobrejetora.

Passo 5

Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora e, consequentemente, admite uma função inversa.

Passo 6

Para encontrar a função inversa, vamos seguir os passos:
  1. Escrevemos .
  2. Resolvemos para :
  3. Substituímos por para expressar a inversa em termos de :

Resposta

A função inversa de é .

Exercícios relacionados