Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) A função f: R -> R, dada por f(x) = x^2 / (x^2 + 1), para x em R, é uma função racional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que pergunta se a função é uma função racional. A matéria aqui envolve funções racionais, então vamos precisar entender o que são essas funções para responder se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função racional. Função racional é basicamente o quociente de dois polinômios. Ou seja, é uma função que pode ser representada como , onde e são polinômios e não é zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Aqui, o numerador é e o denominador é .

Passo 4

Vamos verificar se o numerador e o denominador são polinômios:
  • é um polinômio de grau 2.
  • também é um polinômio de grau 2.
Como ambos são polinômios e o denominador nunca é zero (já que é sempre positivo), a função está na forma de um quociente de dois polinômios.

Resposta

Verdadeiro. A função é uma função racional porque é o quociente de dois polinômios.

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