Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
i)
.
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para encontrar o conjunto solução da desigualdade
. Vamos resolver isso usando conhecimentos de álgebra, especificamente trabalhando com desigualdades envolvendo frações e funções quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas desigualdades e considerar os diferentes casos que podem surgir devido ao denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da desigualdade. Como temos uma fração
, o denominador
não pode ser zero. Então,
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para facilitar, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade:
Passo 4
Para eliminar a fração, vamos multiplicar todos os termos por
. Mas atenção! O sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de
. Por isso, precisamos considerar dois casos: quando
e quando
.
Passo 5
Caso 1:
Multiplicando a desigualdade original por
(positivo, então o sentido da desigualdade não muda):
Vamos reorganizar essa expressão:
Passo 6
Agora, resolvemos a inequação quadrática
. Primeiro, encontramos as raízes dessa equação:
Passo 7
A parábola
abre para cima. Assim, a desigualdade
é satisfeita quando
ou
. Mas lembrando que estamos no caso
, então a solução válida aqui é
.
Passo 8
Caso 2:
Multiplicando a desigualdade original por
(negativo, então o sentido da desigualdade muda):
Reorganizando:
Passo 9
Já sabemos que as raízes são
e
. A desigualdade
é satisfeita entre as raízes, ou seja,
. Mas, como estamos no caso
, a solução válida é
.
Passo 10
Finalmente, juntando os dois casos, temos que as soluções são:
Resposta
O conjunto solução da desigualdade
é
.