Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
i) 8/x < x - 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para encontrar o conjunto solução da desigualdade . Vamos resolver isso usando conhecimentos de álgebra, especificamente trabalhando com desigualdades envolvendo frações e funções quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas desigualdades e considerar os diferentes casos que podem surgir devido ao denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da desigualdade. Como temos uma fração , o denominador não pode ser zero. Então, .

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade . Para facilitar, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade:

Passo 4

Para eliminar a fração, vamos multiplicar todos os termos por . Mas atenção! O sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de . Por isso, precisamos considerar dois casos: quando e quando .

Passo 5

Caso 1:
Multiplicando a desigualdade original por (positivo, então o sentido da desigualdade não muda):
Vamos reorganizar essa expressão:

Passo 6

Agora, resolvemos a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes dessa equação:

Passo 7

A parábola abre para cima. Assim, a desigualdade é satisfeita quando ou . Mas lembrando que estamos no caso , então a solução válida aqui é .

Passo 8

Caso 2:
Multiplicando a desigualdade original por (negativo, então o sentido da desigualdade muda):
Reorganizando:

Passo 9

Já sabemos que as raízes são e . A desigualdade é satisfeita entre as raízes, ou seja, . Mas, como estamos no caso , a solução válida é .

Passo 10

Finalmente, juntando os dois casos, temos que as soluções são:

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é .

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