Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) O subconjunto do plano
, com
é a representação geométrica do gráfico de uma função da variável
.
( ) O subconjunto do plano
Passo 1
Vamos lá! O enunciado está nos pedindo para avaliar se o conjunto
representa o gráfico de uma função em relação à variável
. Aqui, estamos lidando com conceitos de funções e representação gráfica no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função
relaciona cada elemento de um conjunto
(domínio) a exatamente um elemento de um conjunto
(contradomínio). No contexto do gráfico no plano, isso significa que para cada valor de
existe apenas um valor correspondente de
.
Passo 3
Agora, observamos a equação
, que representa um círculo de raio 1 centrado na origem. Ao adicionar a condição
, estamos considerando apenas a parte superior desse círculo, ou seja, a semicircunferência.
Passo 4
Para verificar se essa semicircunferência é o gráfico de uma função de
, podemos tentar expressar
em termos de
. A partir da equação do círculo:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Como estamos considerando
, a função fica definida como
para
.
Passo 5
Além disso, podemos aplicar o “teste da linha vertical” que diz que se uma linha vertical intersecta o gráfico em no máximo um ponto, então o gráfico representa uma função. No nosso caso, para cada
entre -1 e 1, existe apenas um valor de
, confirmando que é uma função.
Resposta
Verdadeira. O conjunto dado representa o gráfico da função
, satisfazendo que para cada
existe um único
correspondente.