(i) Seja
uma função que admite função inversa. Então
é igual a
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que vai de um conjunto
dos números reais para outro conjunto
também dos números reais. A função
tem uma função inversa, que a gente chama de
. A pergunta é: será que essa função inversa
é igual a
, ou seja, a função que dá o inverso multiplicativo de
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e o que é a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma função inversa. Se
tem uma função inversa
, isso quer dizer que ao aplicar
e depois
, a gente volta para o número original. Matemáticamente, isso é escrito como:
e também
Isso só é possível se
for uma função bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é
. Essa expressão representa uma nova função que, para cada
no domínio de
, dá o inverso multiplicativo de
. Ou seja:
Essa função só faz sentido se
for diferente de zero para todo
no domínio.
Passo 4
Vamos comparar
e
. A função inversa
desfaz o que
faz: se
, então
. Por outro lado,
pega o valor de
e retorna seu inverso multiplicativo.
Passo 5
Para ver se
, vamos analisar um exemplo simples. Suponha que
. A função inversa seria
. Já
. Claramente,
.
Passo 6
Esse exemplo mostra que, em geral,
e
são funções diferentes. A menos que a função
seja da forma
, onde de fato
, as duas funções não são iguais.
Resposta
Não, a função inversa
não é igual a
. A função inversa desfaz a aplicação de
, enquanto
calcula o inverso multiplicativo de
. Elas só coincidem se
.