(i) Seja f: A ⊆ R → B ⊆ R uma função que admite função inversa. Então f^-1 é igual a 1/f ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, a gente tem uma função que vai de um conjunto dos números reais para outro conjunto também dos números reais. A função tem uma função inversa, que a gente chama de . A pergunta é: será que essa função inversa é igual a , ou seja, a função que dá o inverso multiplicativo de ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e o que é a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma função inversa. Se tem uma função inversa , isso quer dizer que ao aplicar e depois , a gente volta para o número original. Matemáticamente, isso é escrito como:
e também
Isso só é possível se for uma função bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é . Essa expressão representa uma nova função que, para cada no domínio de , dá o inverso multiplicativo de . Ou seja:
Essa função só faz sentido se for diferente de zero para todo no domínio.

Passo 4

Vamos comparar e . A função inversa desfaz o que faz: se , então . Por outro lado, pega o valor de e retorna seu inverso multiplicativo.

Passo 5

Para ver se , vamos analisar um exemplo simples. Suponha que . A função inversa seria . Já . Claramente, .

Passo 6

Esse exemplo mostra que, em geral, e são funções diferentes. A menos que a função seja da forma , onde de fato , as duas funções não são iguais.

Resposta

Não, a função inversa não é igual a . A função inversa desfaz a aplicação de , enquanto calcula o inverso multiplicativo de . Elas só coincidem se .

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