Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
h) ((x+2)(x-3))/(x(x^2+1))<0.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma desigualdade pra resolver:
Vamos usar conhecimentos de análise de sinais e resolução de desigualdades racionais. Pra resolver isso, a gente precisa identificar os valores de que fazem com que a fração seja menor que zero, ou seja, negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os zeros do numerador e do denominador, porque esses pontos vão dividir a reta dos números reais em intervalos onde a expressão pode mudar de sinal.
  • Numerador:
  • Denominador:
    • não tem solução real, porque é sempre positivo.
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 3

Agora, vamos construir uma reta numérica dividida nesses pontos e testar cada intervalo para ver o sinal da expressão.
Os intervalos são:

Passo 4

Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular o sinal de cada fator:
  1. Para , vamos escolher :
    • (negativo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    Sinal total: (negativo)
  2. Para , vamos escolher :
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    Sinal total: (positivo)
  3. Para , vamos escolher :
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    Sinal total: (negativo)
  4. Para , vamos escolher :
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    Sinal total: (positivo)

Passo 5

Agora, queremos os intervalos onde a expressão �� menor que zero (negativa). Observando os sinais que encontramos:
  • : Negativo
  • : Positivo
  • : Negativo
  • : Positivo

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é:

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