Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) A equação [sen(x) + cos(x)]^2 - 1 = sen(2x) é valida para todo x em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz que a equação [sen(x) + cos(x)]^2 - 1 = sen(2x) é válida para todo número real x. Nosso objetivo aqui é descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades das funções trigonométricas, como a identidade do seno do ângulo duplo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da equação para ver o que temos de fato. Vamos calcular .

Passo 3

Expandindo o quadrado, temos:
Então, vamos subtrair 1 dessa expressão:

Passo 4

Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Substituindo isso na expressão:

Passo 5

Agora, observamos que é exatamente a identidade para . Ou seja:

Resposta

Então, a equação [sen(x) + cos(x)]^2 - 1 = sen(2x) é verdadeira para todo x em R.

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