Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) A equação
é valida para todo
.
( ) A equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz que a equação
é válida para todo número real
. Nosso objetivo aqui é descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades das funções trigonométricas, como a identidade do seno do ângulo duplo.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da equação para ver o que temos de fato. Vamos calcular
.
Passo 3
Expandindo o quadrado, temos:
Então, vamos subtrair 1 dessa expressão:
Passo 4
Sabemos que
(essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Substituindo isso na expressão:
Passo 5
Agora, observamos que
é exatamente a identidade para
. Ou seja:
Resposta
Então, a equação
é verdadeira para todo
.