Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
j) 3/(x-2) < 1/(2x+1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a seguinte desigualdade:
Aqui, estamos lidando com uma desigualdade envolvendo frações. Para resolvê-la, vamos precisar de conhecimentos sobre desigualdades algébricas e frações algébricas.

Passo 2

O próximo passo é trazer todos os termos para um lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos combinar essas frações em uma única expressão. Para isso, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores e . O MMC é .
Multiplicamos cada termo da fração pelo denominador do outro termo:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
Então, a desigualdade fica:

Passo 5

Factorizamos o numerador:
Agora, a desigualdade é:

Passo 6

Para resolver essa desigualdade, precisamos encontrar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador é zero. Esses pontos dividirão a reta numérica em intervalos que vamos analisar:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 7

Agora, vamos analisar os sinais da expressão em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  1. Intervalo :
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    • Resultado: (Negativo)
  2. Intervalo :
    • é positivo
    • é negativo
    • é negativo
    • Resultado: (Positivo)
  3. Intervalo :
    • é positivo
    • é negativo
    • é positivo
    • Resultado: (Negativo)
  4. Intervalo :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • Resultado: (Positivo)

Passo 8

Estamos buscando onde a expressão é menor que zero ( ). Observando os sinais:
  • Intervalo : Negativo
  • Intervalo : Negativo
Portanto, a solução são os valores de nesses intervalos.

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é:
Em notação de união de intervalos:

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