Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
j)
.
j)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a seguinte desigualdade:
Aqui, estamos lidando com uma desigualdade envolvendo frações. Para resolvê-la, vamos precisar de conhecimentos sobre desigualdades algébricas e frações algébricas.
Passo 2
O próximo passo é trazer todos os termos para um lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos combinar essas frações em uma única expressão. Para isso, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores
e
. O MMC é
.
Multiplicamos cada termo da fração pelo denominador do outro termo:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a desigualdade fica:
Passo 5
Factorizamos o numerador:
Agora, a desigualdade é:
Passo 6
Para resolver essa desigualdade, precisamos encontrar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador é zero. Esses pontos dividirão a reta numérica em intervalos que vamos analisar:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 7
Agora, vamos analisar os sinais da expressão
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
-
Intervalo
: -
é negativo -
é negativo -
é negativo - Resultado:
(Negativo)
-
-
Intervalo
: -
é positivo -
é negativo -
é negativo - Resultado:
(Positivo)
-
-
Intervalo
: -
é positivo -
é negativo -
é positivo - Resultado:
(Negativo)
-
-
Intervalo
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo - Resultado:
(Positivo)
-
Passo 8
Estamos buscando onde a expressão é menor que zero (
). Observando os sinais:
- Intervalo
: Negativo - Intervalo
: Negativo
Portanto, a solução são os valores de
nesses intervalos.
Resposta
O conjunto solução da desigualdade é:
Em notação de união de intervalos: