Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) Se z em R e x <= y, então x z <= y z.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se e , então .” Estamos trabalhando com propriedades de desigualdades envolvendo números reais e multiplicação. Para resolver, precisamos entender como a multiplicação por um número real afeta a desigualdade entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso em que é um número positivo. Sabemos que multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo mantém a direção da desigualdade. Ou seja, se e , então .

Passo 3

Agora, pensemos no caso em que é negativo. Multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo inverte a direção da desigualdade. Portanto, se e , então , o que contraria a afirmação original.

Passo 4

Para confirmar que a afirmação nem sempre é verdadeira, vamos usar um contra-exemplo. Seja , e . Aqui, porque . Mas ao multiplicar por : e . Claramente, , o que mostra que , não .

Resposta

Falsa.

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