Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) Para quaisquer
, temos que
.
( ) Para quaisquer
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação: "Para quaisquer
, temos que
". O conteúdo envolvido aqui são as propriedades do valor absoluto. Para resolver isso, vamos verificar se essa igualdade é sempre verdadeira ou não, utilizando conhecimentos sobre valores absolutos e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. Para qualquer número real
, o valor absoluto
representa a distância de
até zero na reta numérica, sempre sendo um número não negativo.
Passo 3
Sabemos que, em geral, o valor absoluto de uma soma não é necessariamente igual à soma dos valores absolutos. A propriedade que se aproxima disso é a desigualdade triangular, que diz que
.
Passo 4
Para que a igualdade
seja verdadeira, é necessário que
e
tenham o mesmo sinal. Isso porque, se ambos forem positivos ou ambos forem negativos, a soma
manterá o mesmo sinal e a distância até zero será a soma das distâncias individuais.
Passo 5
No entanto, se
e
tiverem sinais opostos, a soma
pode ter um valor absoluto menor do que a soma dos valores absolutos de
e
. Isso acontece porque os sinais opostos podem “se cancelarem” parcialmente.
Passo 6
Vamos dar um exemplo para ilustrar. Considere
e
.
Calculando:
Calculando:
Aqui vemos que
não é igual a
.
Resposta
Falso. Por exemplo, para
e
, temos
e
, portanto
.