Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) Para quaisquer x, y em R, temos que |x + y| = |x| + |y|.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: "Para quaisquer , temos que ". O conteúdo envolvido aqui são as propriedades do valor absoluto. Para resolver isso, vamos verificar se essa igualdade é sempre verdadeira ou não, utilizando conhecimentos sobre valores absolutos e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. Para qualquer número real , o valor absoluto representa a distância de até zero na reta numérica, sempre sendo um número não negativo.

Passo 3

Sabemos que, em geral, o valor absoluto de uma soma não é necessariamente igual à soma dos valores absolutos. A propriedade que se aproxima disso é a desigualdade triangular, que diz que .

Passo 4

Para que a igualdade seja verdadeira, é necessário que e tenham o mesmo sinal. Isso porque, se ambos forem positivos ou ambos forem negativos, a soma manterá o mesmo sinal e a distância até zero será a soma das distâncias individuais.

Passo 5

No entanto, se e tiverem sinais opostos, a soma pode ter um valor absoluto menor do que a soma dos valores absolutos de e . Isso acontece porque os sinais opostos podem “se cancelarem” parcialmente.

Passo 6

Vamos dar um exemplo para ilustrar. Considere e .
Calculando:
Aqui vemos que não é igual a .

Resposta

Falso. Por exemplo, para e , temos e , portanto .

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