Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional, então a + b é um número irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação “Se é um número racional e é um número irracional, então é um número irracional” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de números racionais e irracionais, e vamos precisar entender como eles se comportam quando somados. Vou te mostrar como resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são números racionais e irracionais. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Por exemplo, ou 3 são números racionais.
Já um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração . Ou seja, sua representação decimal é infinita e não periódica, como ou .

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se somarmos um número racional com um número irracional , o resultado será necessariamente irracional. Para verificar se isso é verdade, podemos tentar pensar se existe alguma situação em que a soma de um racional com um irracional poderia ser racional. Se conseguirmos encontrar um exemplo assim, a afirmação seria falsa.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um contra-exemplo. Suponha que e . Sabemos que é irracional. Então:
O número 0 é racional, porque pode ser escrito como . Aqui, somamos um número racional (já que não é racional, precisamos ajustar nosso exemplo).
Vamos tentar de novo: seja (que é racional) e (irracional).
Esse resultado é irracional, pois não pode ser expresso como uma fração .

Passo 5

Parece que nosso primeiro exemplo não funcionou porque usamos um número irracional como . Vamos tentar outro: escolha e . Mas novamente, isso não funciona porque precisa ser racional.
Vamos mudar de estratégia: suponha que a afirmação seja verdadeira, ou seja, que seja sempre irracional. Se tentarmos resolver para , temos:
Se é irracional e é racional, então a subtração de dois números irracionais poderia resultar em um número racional, o que não faz sentido. Portanto, nossa primeira tentativa foi válida para mostrar que a afirmação não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se (racional) e (irracional), então é irracional. No entanto, se escolhermos e , temos , que é racional. Portanto, a soma de um número racional com um irracional pode ser racional, o que mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.

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