Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional, então
é um número irracional.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação “Se
é um número racional e
é um número irracional, então
é um número irracional” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de números racionais e irracionais, e vamos precisar entender como eles se comportam quando somados. Vou te mostrar como resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são números racionais e irracionais. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Por exemplo,
ou 3 são números racionais.
Já um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração
. Ou seja, sua representação decimal é infinita e não periódica, como
ou
.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se somarmos um número racional
com um número irracional
, o resultado
será necessariamente irracional. Para verificar se isso é verdade, podemos tentar pensar se existe alguma situação em que a soma de um racional com um irracional poderia ser racional. Se conseguirmos encontrar um exemplo assim, a afirmação seria falsa.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um contra-exemplo. Suponha que
e
. Sabemos que
é irracional. Então:
O número 0 é racional, porque pode ser escrito como
. Aqui, somamos um número racional (já que
não é racional, precisamos ajustar nosso exemplo).
Vamos tentar de novo: seja
(que é racional) e
(irracional).
Esse resultado é irracional, pois não pode ser expresso como uma fração
.
Passo 5
Parece que nosso primeiro exemplo não funcionou porque usamos um número irracional como
. Vamos tentar outro: escolha
e
. Mas novamente, isso não funciona porque
precisa ser racional.
Vamos mudar de estratégia: suponha que a afirmação seja verdadeira, ou seja, que
seja sempre irracional. Se tentarmos resolver para
, temos:
Se
é irracional e
é racional, então a subtração de dois números irracionais poderia resultar em um número racional, o que não faz sentido. Portanto, nossa primeira tentativa foi válida para mostrar que a afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, se
(racional) e
(irracional), então
é irracional. No entanto, se escolhermos
e
, temos
, que é racional. Portanto, a soma de um número racional com um irracional pode ser racional, o que mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.