Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional, então a
é um número racional.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional, então a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a afirmação “Se
é um número racional e
é um número irracional, então
é um número racional” é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais e como eles se comportam quando multiplicados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar: um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Já um número irracional não pode ser escrito dessa forma; ele tem uma representação decimal infinita e não periódica, como
ou
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação. Ela diz que se
é racional e
é irracional, então
é racional. Para verificar, precisamos ver se isso é sempre verdade ou se existe algum caso em que não acontece.
Passo 4
Vamos pensar em um contra-exemplo. Suponha que
(que é um número racional) e
(que é irracional). Multiplicando, temos:
E
é um número racional. Parece que funciona, mas vamos tentar outro exemplo.
Passo 5
Agora, suponha que
(racional) e
(irracional). Multiplicando:
O número
ainda é irracional, pois não pode ser expresso como uma fração de números inteiros.
Passo 6
Isso mostra que a afirmação nem sempre é verdadeira. Dependendo dos valores de
e
, o produto
pode ser racional ou irracional. Portanto, a afirmação “Se
é racional e
é irracional, então
é racional” nem sempre se sustenta.
Resposta
Falsa. Por exemplo, se
(racional) e
(irracional), então
, que é irracional.