Em cada um dos ítens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo.
( ) Se a é um número racional e b é um número irracional, então a b é um número racional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a afirmação “Se é um número racional e é um número irracional, então é um número racional” é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais e como eles se comportam quando multiplicados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar: um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Já um número irracional não pode ser escrito dessa forma; ele tem uma representação decimal infinita e não periódica, como ou .

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação. Ela diz que se é racional e é irracional, então é racional. Para verificar, precisamos ver se isso é sempre verdade ou se existe algum caso em que não acontece.

Passo 4

Vamos pensar em um contra-exemplo. Suponha que (que é um número racional) e (que é irracional). Multiplicando, temos:
E é um número racional. Parece que funciona, mas vamos tentar outro exemplo.

Passo 5

Agora, suponha que (racional) e (irracional). Multiplicando:
O número ainda é irracional, pois não pode ser expresso como uma fração de números inteiros.

Passo 6

Isso mostra que a afirmação nem sempre é verdadeira. Dependendo dos valores de e , o produto pode ser racional ou irracional. Portanto, a afirmação “Se é racional e é irracional, então é racional” nem sempre se sustenta.

Resposta

Falsa. Por exemplo, se (racional) e (irracional), então , que é irracional.

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