Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de . Determine a taxa à qual a área varia quando o diâmetro é 30 cm .

Passo 1

Ok, vamos lá! Você tem uma chapa circular de metal cujo diâmetro está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir quão rápido a área dessa chapa está aumentando quando o diâmetro é de 30 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de taxas relacionadas da cálculo diferencial. Precisamos relacionar a taxa de variação do diâmetro com a taxa de variação da área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o diâmetro ( ) de um círculo está relacionado ao seu raio ( ) pela fórmula:
Então, se sabemos como o diâmetro está mudando, podemos encontrar como o raio está mudando.

Passo 3

A área ( ) de um círculo é dada por:
Mas como queremos relacionar a área diretamente com o diâmetro, vamos reescrever essa fórmula em termos de . Substituindo na fórmula da área:
Agora temos a área em função do diâmetro.

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo ( ), vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Usando a regra da cadeia:
Simplificando a expressão:
Essa equação relaciona a taxa de variação da área ( ) com a taxa de variação do diâmetro ( ).

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos na equação. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Então, a taxa de variação da área quando o diâmetro é 30 cm é .

Resposta

A área da chapa está aumentando a uma taxa de quando o diâmetro é de 30 cm.

Exercícios relacionados

Suponha que esta sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de . Qual a taxa de variacão de crescimento do raio quando este é de 5 cm ?
Em cada um dos itens abaixo, representa a posição de uma partícula se movendo em linha reta no instante . Determine: A velocidade e aceleração da partícula no instante . Além disso, responda em quais instantes a partícula está parada.
.
O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de enquanto sua largura diminui a uma taxa de . Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm , quão rápido a área do retângulo está variando?
A medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo está decrescendo a uma taxa de . Se o comprimento da hipotenusa for constante igual a 40 cm , determine a velocidade com que a área esta variando, quando a medida do ângulo agudo for ?