Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de
. Determine a taxa à qual a área varia quando o diâmetro é 30 cm .
Passo 1
Ok, vamos lá! Você tem uma chapa circular de metal cujo diâmetro está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido a área dessa chapa está aumentando quando o diâmetro é de 30 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de taxas relacionadas da cálculo diferencial. Precisamos relacionar a taxa de variação do diâmetro com a taxa de variação da área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o diâmetro (
) de um círculo está relacionado ao seu raio (
) pela fórmula:
Então, se sabemos como o diâmetro está mudando, podemos encontrar como o raio está mudando.
Passo 3
A área (
) de um círculo é dada por:
Mas como queremos relacionar a área diretamente com o diâmetro, vamos reescrever essa fórmula em termos de
. Substituindo
na fórmula da área:
Agora temos a área em função do diâmetro.
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo (
), vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Usando a regra da cadeia:
Simplificando a expressão:
Essa equação relaciona a taxa de variação da área (
) com a taxa de variação do diâmetro (
).
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que temos na equação. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Então, a taxa de variação da área quando o diâmetro é 30 cm é
.
Resposta
A área da chapa está aumentando a uma taxa de
quando o diâmetro é de 30 cm.
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.
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