Em cada um dos itens abaixo, f: D ⊆ R² → R é uma função com domínio D. Determine o conjunto dos pontos onde a função f dada é diferenciável:
(a) f(x, y) = 1 + x ln(x y - 5), para (x, y) em D.
(b) f(x, y) = raiz(x * y), para (x, y) em D.
© f(x, y) = x^2 e^y, para (x, y) em D.
(d) f(x, y) = (1 + y) / (1 + x), para (x, y) em D.
(e) f(x, y) = 4 * arctan(x * y), para (x, y) em D.
(f) f(x, y) = y + sen(x / y) para (x, y) em D.

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte (a). A questão pede para a gente determinar onde a função é diferenciável. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e quais condições a função precisa atender para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber onde a função está definida, ou seja, o domínio . A função envolve o logaritmo natural , e sabemos que o argumento do logaritmo deve ser positivo. Então:
Portanto, o domínio é o conjunto de pontos em onde .

Passo 3

A função é composta por funções básicas que são diferenciáveis onde estão definidas, como o logaritmo e produtos de funções diferenciáveis. Além disso, para que seja diferenciável, suas derivadas parciais devem existir e ser contínuas no domínio.
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Ambas as derivadas existem e são contínuas sempre que , que é exatamente o nosso domínio .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos descobrir onde a função é diferenciável. Vamos analisar o domínio e as condições para a diferenciabilidade.

Passo 6

A função envolve a raiz quadrada de , então o argumento deve ser não negativo:
Portanto, o domínio é o conjunto de pontos onde .

Passo 7

A função é diferenciável onde suas derivadas parciais existem e são contínuas. Vamos calcular as derivadas.

Passo 8

Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Observamos que as derivadas existem e são contínuas quando . No ponto onde , as derivadas não são definidas.

Passo 9

Vamos para a parte ©. Precisamos determinar onde a função é diferenciável. Vamos analisar o domínio e calcular as derivadas.

Passo 10

A função é composta por funções polinomiais e exponenciais, que são definidas e diferenciáveis para todo em . Portanto, o domínio é .

Passo 11

Como todas as funções envolvidas são diferenciáveis em todo o domínio, a função composta também será diferenciável em todo .

Passo 12

Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Ambas são funções contínuas em .

Passo 13

Agora, vamos para a parte (d). A função é . Vamos descobrir onde ela é diferenciável.

Passo 14

A função tem um denominador , que não pode ser zero. Então:
Portanto, o domínio é menos o conjunto onde .

Passo 15

A função é composta por funções racionais, que são diferenciáveis onde estão definidas. Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 16

Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Ambas as derivadas existem e são contínuas sempre que .

Passo 17

Vamos para a parte (e). A função é . Queremos saber onde ela é diferenciável.

Passo 18

A função arco-tangente está definida para todos os números reais, então não há restrições no domínio. Então, .

Passo 19

A função é diferenciável em todo o seu domínio, e a composição com preserva a diferenciabilidade. Vamos calcular as derivadas.

Passo 20

Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Ambas são contínuas em .

Passo 21

Finalmente, vamos para a parte (f). A função é . Vamos determinar onde ela é diferenciável.

Passo 22

A função envolve a divisão , então precisamos evitar que . Além disso, o seno está definido para todos os reais. Então:
Portanto, o domínio é menos o conjunto onde .

Passo 23

A função é composta por funções diferenciáveis onde estão definidas, como a divisão e o seno. Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 24

Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Ambas as derivadas existem e são contínuas sempre que .

Resposta

A função é diferenciável para todos os pontos onde .

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