Em cada um dos itens abaixo,
é uma função com domínio
. Determine o conjunto dos pontos onde a função
dada é diferenciável:
(a)
, para
.
(b)
, para
.
©
, para
.
(d)
, para
.
(e)
, para
.
(f)
para
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos começar com a parte (a). A questão pede para a gente determinar onde a função
é diferenciável. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e quais condições a função precisa atender para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber onde a função está definida, ou seja, o domínio
. A função envolve o logaritmo natural
, e sabemos que o argumento do logaritmo deve ser positivo. Então:
Portanto, o domínio
é o conjunto de pontos
em
onde
.
Passo 3
A função
é composta por funções básicas que são diferenciáveis onde estão definidas, como o logaritmo e produtos de funções diferenciáveis. Além disso, para que
seja diferenciável, suas derivadas parciais devem existir e ser contínuas no domínio.
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Ambas as derivadas existem e são contínuas sempre que
, que é exatamente o nosso domínio
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos descobrir onde a função
é diferenciável. Vamos analisar o domínio e as condições para a diferenciabilidade.
Passo 6
A função envolve a raiz quadrada de
, então o argumento deve ser não negativo:
Portanto, o domínio
é o conjunto de pontos
onde
.
Passo 7
A função
é diferenciável onde suas derivadas parciais existem e são contínuas. Vamos calcular as derivadas.
Passo 8
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Observamos que as derivadas existem e são contínuas quando
. No ponto onde
, as derivadas não são definidas.
Passo 9
Vamos para a parte ©. Precisamos determinar onde a função
é diferenciável. Vamos analisar o domínio e calcular as derivadas.
Passo 10
A função
é composta por funções polinomiais e exponenciais, que são definidas e diferenciáveis para todo
em
. Portanto, o domínio
é
.
Passo 11
Como todas as funções envolvidas são diferenciáveis em todo o domínio, a função composta também será diferenciável em todo
.
Passo 12
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Ambas são funções contínuas em
.
Passo 13
Agora, vamos para a parte (d). A função é
. Vamos descobrir onde ela é diferenciável.
Passo 14
A função tem um denominador
, que não pode ser zero. Então:
Portanto, o domínio
é
menos o conjunto onde
.
Passo 15
A função é composta por funções racionais, que são diferenciáveis onde estão definidas. Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 16
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Ambas as derivadas existem e são contínuas sempre que
.
Passo 17
Vamos para a parte (e). A função é
. Queremos saber onde ela é diferenciável.
Passo 18
A função arco-tangente
está definida para todos os números reais, então não há restrições no domínio. Então,
.
Passo 19
A função
é diferenciável em todo o seu domínio, e a composição com
preserva a diferenciabilidade. Vamos calcular as derivadas.
Passo 20
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Ambas são contínuas em
.
Passo 21
Finalmente, vamos para a parte (f). A função é
. Vamos determinar onde ela é diferenciável.
Passo 22
A função envolve a divisão
, então precisamos evitar que
. Além disso, o seno está definido para todos os reais. Então:
Portanto, o domínio
é
menos o conjunto onde
.
Passo 23
A função é composta por funções diferenciáveis onde estão definidas, como a divisão e o seno. Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 24
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Ambas as derivadas existem e são contínuas sempre que
.
Resposta
A função
é diferenciável para todos os pontos
onde
.
Exercícios relacionados
(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais
se
Considere a seguinte definição:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função quando o gráfico de
arbitrariamente próximo de r a medida que
ou
. São três tipos de assíntota:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função
- a reta
é uma assíntota horizontal: - a reta
é uma assíntota vertical: - a reta
é uma assíntota oblíqua(inclinada):
Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
(a)
(b)
Verifique se existem pontos sobre a curva
nos quais a reta tangente seja paralela à reta dada por
. Caso existam, determine-os.
(Exercício 26 da Lista 3) Considere a função
.
(a) Encontre a aproximação linear de para
no ponto
.
(b) Obtenha o valor aproximado de . Faça a análise sem o uso da calculadora e depois use-a para comparar seu resultado.
(a) Encontre a aproximação linear de
(b) Obtenha o valor aproximado de