(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis. No item (a), precisamos escrever a Regra da Cadeia para uma função
, onde
,
e
são funções de
e
. No item (b), vamos usar essa regra para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, dada uma expressão específica para
e para
,
e
. Vamos precisar entender bem a Regra da Cadeia e como aplicá-la em funções com múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Quando temos uma função composta, onde uma variável depende de outras, a Regra da Cadeia nos ajuda a calcular as derivadas dessas funções compostas.
No nosso caso, temos
e cada uma das variáveis
,
e
depende de
e
. Então, para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, precisamos considerar como cada uma dessas variáveis contribui para a mudança em
.
Passo 3
Item (a): Escrevendo a Regra da Cadeia
Vamos aplicar a Regra da Cadeia para
com
,
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é dada por:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Essas expressões representam como
muda em função de
e
, levando em conta as variações de
,
e
em relação a essas variáveis.
Passo 4
Item (b): Calculando as Derivadas Parciais
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia que acabamos de escrever para calcular
e
com as funções dadas:
Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais necessárias.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Agora, precisamos das derivadas de
,
e
em relação a
e
:
Passo 6
Substituindo tudo na Regra da Cadeia para
:
Como
, o último termo desaparece:
Passo 7
Agora, para
:
Substituindo as derivadas:
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, temos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Resposta
As derivadas parciais de
são: