(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais se

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis. No item (a), precisamos escrever a Regra da Cadeia para uma função , onde , e são funções de e . No item (b), vamos usar essa regra para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , dada uma expressão específica para e para , e . Vamos precisar entender bem a Regra da Cadeia e como aplicá-la em funções com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Quando temos uma função composta, onde uma variável depende de outras, a Regra da Cadeia nos ajuda a calcular as derivadas dessas funções compostas.
No nosso caso, temos e cada uma das variáveis , e depende de e . Então, para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , precisamos considerar como cada uma dessas variáveis contribui para a mudança em .

Passo 3

Item (a): Escrevendo a Regra da Cadeia
Vamos aplicar a Regra da Cadeia para com , e .
A derivada parcial de em relação a é dada por:
E a derivada parcial de em relação a é:
Essas expressões representam como muda em função de e , levando em conta as variações de , e em relação a essas variáveis.

Passo 4

Item (b): Calculando as Derivadas Parciais
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia que acabamos de escrever para calcular e com as funções dadas:
Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais necessárias.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Agora, precisamos das derivadas de , e em relação a e :

Passo 6

Substituindo tudo na Regra da Cadeia para :
Como , o último termo desaparece:

Passo 7

Agora, para :
Substituindo as derivadas:

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, temos as derivadas parciais de em relação a e :

Resposta

As derivadas parciais de são:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte definição:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função quando o gráfico de arbitrariamente próximo de r a medida que ou . São três tipos de assíntota:
  • a reta é uma assíntota horizontal:
  • a reta é uma assíntota vertical:
  • a reta é uma assíntota oblíqua(inclinada):
    Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
    (a)
    (b)
Considere a função dada por
Mostre que:
(a) e existem.
(b) e não são contínuas em .
© é diferenciável em .
Em cada um dos itens abaixo, é uma função com domínio . Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é diferenciável:
(a) , para .
(b) , para .
© , para .
(d) , para .
(e) , para .
(f) para .
Verifique se existem pontos sobre a curva nos quais a reta tangente seja paralela à reta dada por . Caso existam, determine-os.