(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
u=f(x, y, z), onde x=x(s, t), y=y(s, t), z=z(s, t)
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais partial upartial s e partial upartial t se
u=x y+y z+z x, onde x=x s t, y=e^s t, z=t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis. No item (a), precisamos escrever a Regra da Cadeia para uma função , onde , e são funções de e . No item (b), vamos usar essa regra para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , dada uma expressão específica para e para , e . Vamos precisar entender bem a Regra da Cadeia e como aplicá-la em funções com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Quando temos uma função composta, onde uma variável depende de outras, a Regra da Cadeia nos ajuda a calcular as derivadas dessas funções compostas.
No nosso caso, temos e cada uma das variáveis , e depende de e . Então, para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , precisamos considerar como cada uma dessas variáveis contribui para a mudança em .

Passo 3

Item (a): Escrevendo a Regra da Cadeia
Vamos aplicar a Regra da Cadeia para partial upartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s + partial fpartial z cdot partial zpartial s com partial upartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t + partial fpartial z cdot partial zpartial t , e .
A derivada parcial de em relação a é dada por:
E a derivada parcial de em relação a é:
Essas expressões representam como muda em função de e , levando em conta as variações de , e em relação a essas variáveis.

Passo 4

Item (b): Calculando as Derivadas Parciais
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia que acabamos de escrever para calcular u = x y + y z + z x e x = s t, y = e^s t, z = t^2 com as funções dadas:
Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais necessárias.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = y + z em relação a partial upartial y = x + z , partial upartial z = y + x e partial xpartial s = t, partial xpartial t = s :
partial ypartial s = t e^s t, partial ypartial t = s e^s t
partial zpartial s = 0, partial zpartial t = 2 t
Agora, precisamos das derivadas de , e em relação a e :

Passo 6

Substituindo tudo na Regra da Cadeia para partial upartial s = (y + z) cdot partial xpartial s + (x + z) cdot partial ypartial s + (y + x) cdot partial zpartial s :
partial upartial s = (y + z) cdot t + (x + z) cdot t e^s t
Como , o último termo desaparece:

Passo 7

Agora, para partial upartial t = (y + z) cdot partial xpartial t + (x + z) cdot partial ypartial t + (y + x) cdot partial zpartial t :
partial upartial t = (y + z) cdot s + (x + z) cdot s e^s t + (y + x) cdot 2 t
Substituindo as derivadas:

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, temos as derivadas parciais de partial upartial s = t (y + z) + t e^s t (x + z) em relação a partial upartial t = s (y + z) + s e^s t (x + z) + 2 t (y + x) e :

Resposta

As derivadas parciais de partial upartial s = t (y + z) + t e^s t (x + z) são:
partial upartial t = s (y + z) + s e^s t (x + z) + 2 t (y + x)

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