(Exercício 26 da Lista 3) Considere a função
.
(a) Encontre a aproximação linear de
para
no ponto
.
(b) Obtenha o valor aproximado de
. Faça a análise sem o uso da calculadora e depois use-a para comparar seu resultado.
(a) Encontre a aproximação linear de
(b) Obtenha o valor aproximado de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa fazer duas coisas:
a) Encontrar a aproximação linear dessa função no ponto .
b) Usar essa aproximação para estimar o valor de , primeiro sem calculadora e depois com ela para ver se bate.
a) Encontrar a aproximação linear dessa função no ponto
b) Usar essa aproximação para estimar o valor de
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre aproximação linear, que é como achar uma reta que “segue de perto” a função num ponto específico. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, para achar a aproximação linear da função
no ponto
, usamos a fórmula:
Aqui,
,
, e
são as derivadas parciais da função em relação a
,
e
, respectivamente. Isso significa que vamos derivar a função em relação a cada variável mantendo as outras constantes.
Passo 3
Vamos calcular
onde
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais.
A derivada parcial de
em relação a
é:
De forma similar:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula da aproximação linear:
Simplificando:
Passo 7
Pronto! Essa é a aproximação linear da função
no ponto
:
Passo 8
Agora, para a parte (b), queremos aproximar
usando a aproximação linear que encontramos. Primeiro, vamos identificar como isso se relaciona com nosso ponto de referência
.
Aqui,
,
, e
. Vamos ver o quanto cada valor se desvia de
:
Passo 9
Agora, aplicamos esses incrementos na aproximação linear:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 10
Sem calculadora, nossa aproximação para
é
.
Agora, vamos usar a calculadora para verificar:
Resposta
A aproximação linear de
no ponto
é
. Usando essa aproximação, o valor de
é aproximadamente
, tanto sem quanto com a calculadora.