(Exercício 26 da Lista 3) Considere a função f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2).
(a) Encontre a aproximação linear de f(x, y, z) para (x, y, z) no ponto (0, 3, 4).
(b) Obtenha o valor aproximado de raiz((0.01)^2 + (3.02)^2 + (3.97)^2). Faça a análise sem o uso da calculadora e depois use-a para comparar seu resultado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa fazer duas coisas:
a) Encontrar a aproximação linear dessa função no ponto .
b) Usar essa aproximação para estimar o valor de , primeiro sem calculadora e depois com ela para ver se bate.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre aproximação linear, que é como achar uma reta que “segue de perto” a função num ponto específico. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para achar a aproximação linear da função no ponto , usamos a fórmula:
Aqui, , , e são as derivadas parciais da função em relação a , e , respectivamente. Isso significa que vamos derivar a função em relação a cada variável mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos calcular onde :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais.
A derivada parcial de em relação a é:
De forma similar:

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula da aproximação linear:
Simplificando:

Passo 7

Pronto! Essa é a aproximação linear da função no ponto :

Passo 8

Agora, para a parte (b), queremos aproximar usando a aproximação linear que encontramos. Primeiro, vamos identificar como isso se relaciona com nosso ponto de referência .
Aqui, , , e . Vamos ver o quanto cada valor se desvia de :

Passo 9

Agora, aplicamos esses incrementos na aproximação linear:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 10

Sem calculadora, nossa aproximação para é .
Agora, vamos usar a calculadora para verificar:

Resposta

A aproximação linear de no ponto é . Usando essa aproximação, o valor de é aproximadamente , tanto sem quanto com a calculadora.

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