Considere a seguinte definição:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função f(x) quando o gráfico de f arbitrariamente próximo de r a medida que x infty ou x p. São três tipos de assíntota:
  • a reta y=L é uma assíntota horizontal: lim x pm infty f(x)=L
  • a reta x=p é uma assíntota vertical: lim x p f(x)= pm infty
  • a reta y=m x+n é uma assíntota oblíqua(inclinada): lim x infty(f(x)-(m x+m))=0
    Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
    (a) f(x)=4 x-53 x+2
    (b) f(x)=2 x+3raizx^2-2 x-3

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: temos que encontrar as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas. Para isso, vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento das funções quando tende a infinito ou a certos pontos onde a função pode se tornar indefinida.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a):
Função: 3x + 2 = 0 3x = -2 x = -23
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos.
Resolvendo :
Então, existe uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando y = 43 tende a ou . Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
Na função , os coeficientes de no numerador e denominador são 4 e 3, respectivamente. Portanto, a assíntota horizontal é:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b):
Função:
Nosso objetivo é encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função. Vamos analisar onde o denominador se anula e o comportamento da função quando tende a infinito.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Elas ocorrem nos valores de x^2 - 2x - 3 = 0 que tornam o denominador zero.
Resolvendo a equação dentro da raiz:
(x - 3)(x + 1) = 0
Fatorando:
Então, e são os valores que anulam o denominador. Portanto, temos assíntotas verticais em e .

Passo 6

Agora, vamos determinar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando f(x) = 2x + 3raizx^2 - 2x - 3 = 2 + 3xraiz1 - 2x - 3x^2 tende a f(x) approx 2raiz1 = 2 e .
Simplificando a função:
Quando tende a ou , os termos , e tendem a zero. Portanto:
Então, existe uma assíntota horizontal em .

Resposta

Para a função :
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota horizontal:

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