Considere a seguinte definição:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função
quando o gráfico de
arbitrariamente próximo de r a medida que
ou
. São três tipos de assíntota:
- a reta
é uma assíntota horizontal:
- a reta
é uma assíntota vertical:
- a reta
é uma assíntota oblíqua(inclinada):
Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
(a)
(b)
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função
Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito: temos que encontrar as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas. Para isso, vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento das funções quando
tende a infinito ou a certos pontos onde a função pode se tornar indefinida.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
Função:
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos.
Resolvendo
:
Então, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando
tende a
ou
. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
Na função
, os coeficientes de
no numerador e denominador são 4 e 3, respectivamente. Portanto, a assíntota horizontal é:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b):
Função:
Nosso objetivo é encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função. Vamos analisar onde o denominador se anula e o comportamento da função quando
tende a infinito.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Elas ocorrem nos valores de
que tornam o denominador zero.
Resolvendo a equação dentro da raiz:
Fatorando:
Então,
e
são os valores que anulam o denominador. Portanto, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 6
Agora, vamos determinar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando
tende a
e
.
Simplificando a função:
Quando
tende a
ou
, os termos
,
e
tendem a zero. Portanto:
Então, existe uma assíntota horizontal em
.
Resposta
Para a função
:
- Assíntotas verticais:
e - Assíntota horizontal:
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
Mostre que:
(a) e
existem.
(b) e
não são contínuas em
.
© é diferenciável em
.
(a)
(b)
©
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais
se
Em cada um dos itens abaixo,
é uma função com domínio
. Determine o conjunto dos pontos onde a função
dada é diferenciável:
(a) , para
.
(b) , para
.
© , para
.
(d) , para
.
(e) , para
.
(f) para
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)