Considere a seguinte definição:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função quando o gráfico de arbitrariamente próximo de r a medida que ou . São três tipos de assíntota:
  • a reta é uma assíntota horizontal:
  • a reta é uma assíntota vertical:
  • a reta é uma assíntota oblíqua(inclinada):
    Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
    (a)
    (b)

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: temos que encontrar as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas. Para isso, vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento das funções quando tende a infinito ou a certos pontos onde a função pode se tornar indefinida.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a):
Função:
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos.
Resolvendo :
Então, existe uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando tende a ou . Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
Na função , os coeficientes de no numerador e denominador são 4 e 3, respectivamente. Portanto, a assíntota horizontal é:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b):
Função:
Nosso objetivo é encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função. Vamos analisar onde o denominador se anula e o comportamento da função quando tende a infinito.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Elas ocorrem nos valores de que tornam o denominador zero.
Resolvendo a equação dentro da raiz:
Fatorando:
Então, e são os valores que anulam o denominador. Portanto, temos assíntotas verticais em e .

Passo 6

Agora, vamos determinar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando tende a e .
Simplificando a função:
Quando tende a ou , os termos , e tendem a zero. Portanto:
Então, existe uma assíntota horizontal em .

Resposta

Para a função :
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota horizontal:

Exercícios relacionados

Considere a função dada por
Mostre que:
(a) e existem.
(b) e não são contínuas em .
© é diferenciável em .
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais se
Em cada um dos itens abaixo, é uma função com domínio . Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é diferenciável:
(a) , para .
(b) , para .
© , para .
(d) , para .
(e) , para .
(f) para .