Verifique se existem pontos sobre a curva x^2 - y^2 = 1 nos quais a reta tangente seja paralela à reta dada por y = 2 x. Caso existam, determine-os.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar pontos na curva onde a reta tangente a essa curva seja paralela à reta . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Sabemos que duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta é 2. Portanto, precisamos encontrar os pontos na curva onde a inclinação da reta tangente é também 2.

Passo 3

Vamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva usando derivadas. Diferenciando implicitamente a equação em relação a :
Isolando :

Passo 4

Queremos que a inclinação da reta tangente seja 2:

Passo 5

Agora, substituímos na equação original da curva para encontrar os valores de :

Passo 6

Com os valores de , encontramos os correspondentes valores de :

Resposta

Existem dois pontos sobre a curva onde a reta tangente é paralela à reta . Esses pontos são e .

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