Verifique se existem pontos sobre a curva nos quais a reta tangente seja paralela à reta dada por . Caso existam, determine-os.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar pontos na curva onde a reta tangente a essa curva seja paralela à reta . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Sabemos que duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta é 2. Portanto, precisamos encontrar os pontos na curva onde a inclinação da reta tangente é também 2.

Passo 3

Vamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva usando derivadas. Diferenciando implicitamente a equação em relação a :
Isolando :

Passo 4

Queremos que a inclinação da reta tangente seja 2:

Passo 5

Agora, substituímos na equação original da curva para encontrar os valores de :

Passo 6

Com os valores de , encontramos os correspondentes valores de :

Resposta

Existem dois pontos sobre a curva onde a reta tangente é paralela à reta . Esses pontos são e .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, é uma função com domínio . Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é diferenciável:
(a) , para .
(b) , para .
© , para .
(d) , para .
(e) , para .
(f) para .
(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais se
(Exercício 26 da Lista 3) Considere a função .
(a) Encontre a aproximação linear de para no ponto .
(b) Obtenha o valor aproximado de . Faça a análise sem o uso da calculadora e depois use-a para comparar seu resultado.
Considere a função e o ponto . Determine:
(a) A taxa de variação de em na direção do vetor .
(b) A taxa de variação de em na direção do vetor tangente a curva em .
© A direção na qual a taxa de variação de em é máxima.