Em cada um dos itens abaixo, verifique se f é contínua e derivável no ponto x_0, determinando f'(x0) quando for possível.
f(x) = {(x^2 + x) cos(1/x), x ≠ 0; 0, x = 0}, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes quando é zero ou não. Nosso trabalho é ver se essa função é contínua e derivável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . A função é contínua nesse ponto se o limite de quando se aproxima de 0 for igual ao valor de .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Sabemos que oscila entre -1 e 1, então:
Como , pelo Teorema do Sanduíche, o limite da função também é 0.

Passo 4

Como e , concluímos que a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos ver se a função é derivável em . Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada:
Substituindo :
Sabemos que oscila entre -1 e 1, então oscila entre e . Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1, mas não tem limite definido nessa situação porque continua oscilando sem fixar.

Resposta

A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

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