Em cada um dos itens abaixo, verifique se
é contínua e derivável no ponto
, determinando
quando for possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes quando
é zero ou não. Nosso trabalho é ver se essa função é contínua e derivável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. A função é contínua nesse ponto se o limite de
quando
se aproxima de 0 for igual ao valor de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Sabemos que
oscila entre -1 e 1, então:
Como
, pelo Teorema do Sanduíche, o limite da função também é 0.
Passo 4
Como
e
, concluímos que a função é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos ver se a função é derivável em
. Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada:
Substituindo
:
Sabemos que
oscila entre -1 e 1, então
oscila entre
e
. Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1, mas
não tem limite definido nessa situação porque continua oscilando sem fixar.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUÇÃã
Mostre que
, para
.
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Resolver as seguintes integrais: