Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando a integral envolve expressões quadráticas sob uma raiz. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a raiz quadrada para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos que temos
. Isso se encaixa na forma
, onde
. Para esse caso, a substituição trigonométrica ideal é
. Então, vamos usar:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Também, substituindo
na expressão
:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Lembrando que
, temos:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
Também, usando a identidade
, e sabendo que
, temos:
Substituindo de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUÇÃã
Mostre que
, para
.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se
é contínua e derivável no ponto
, determinando
quando for possível.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se
é contínua e derivável no ponto
, determinando
quando for possível.
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.