Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

integral x^2 d xraiz4-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando a integral envolve expressões quadráticas sob uma raiz. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a raiz quadrada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos que temos x = 2 sin theta . Isso se encaixa na forma , onde . Para esse caso, a substituição trigonométrica ideal é . Então, vamos usar:

Passo 3

Agora, vamos derivar dx = 2 cos theta , dtheta em relação a raiz4 - x^2 = raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4(1 - sin^2 theta) = 2 cos theta para encontrar :
Também, substituindo na expressão :

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral x^2 , dxraiz4 - x^2 = integral (2 sin theta)^2 cdot 2 cos theta , dtheta2 cos theta = integral 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta2 cos theta , dtheta
Simplificando:
integral 4 sin^2 theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar 4 sin^2 theta = 4 cdot 1 - cos(2theta)2 = 2(1 - cos(2theta)) . Lembrando que integral 2(1 - cos(2theta)) , dtheta = 2 integral 1 , dtheta - 2 integral cos(2theta) , dtheta , temos:
2 theta - sin(2theta) + C
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original sin theta = x2 e theta = arcsin(x2) . Sabemos que sin(2theta) = 2 cdot x2 cdot raiz4 - x^22 = x raiz4 - x^22 , então:
2 arcsin(x2) - x raiz4 - x^22 + C
Também, usando a identidade , e sabendo que , temos:
Substituindo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral 2 arcsin(x2) - x raiz4 - x^22 + C é igual a:

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