Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando a integral envolve expressões quadráticas sob uma raiz. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a raiz quadrada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos que temos . Isso se encaixa na forma , onde . Para esse caso, a substituição trigonométrica ideal é . Então, vamos usar:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Também, substituindo na expressão :

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Lembrando que , temos:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então:
Também, usando a identidade , e sabendo que , temos:
Substituindo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

Mostre que , para .
Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
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