Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

Mostre que , para .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a integral de em relação a pode ser expressa de uma certa forma, usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar saber como funciona a integração por partes, que é uma técnica super útil para resolver integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Aqui, a gente escolhe duas partes da nossa integral original para serem e . No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos calcular e . Vamos lá:
Derivando em relação a :
Integrando para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
Substituindo , e :

Passo 5

Simplificando a integral restante:

Resposta

Então, mostramos que:
para .

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Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.
Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
b)
Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.