Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

Mostre que integral x^m(ln x)^n d x=x^m+1(ln x)^nm+1-nm+1 integral x^m(ln x)^n-1 d x, para m neq-1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a integral de em relação a pode ser expressa de uma certa forma, usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar saber como funciona a integração por partes, que é uma técnica super útil para resolver integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a gente escolhe duas partes da nossa integral original para serem u = (ln x)^n e dv = x^m dx e . No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx ( (ln x)^n ) dx = n (ln x)^n-1 cdot 1x dx e v = integral x^m dx = x^m+1m+1 (desde que m neq -1) . Vamos lá:
Derivando em relação a :
Integrando para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
integral x^m (ln x)^n dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo integral x^m (ln x)^n dx = x^m+1 (ln x)^nm+1 - integral x^m+1m+1 cdot n (ln x)^n-1x dx , e :

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x^m (ln x)^n dx = x^m+1 (ln x)^nm+1 - nm+1 integral x^m (ln x)^n-1 dx

Resposta

Então, mostramos que:
integral x^m (ln x)^n dx = x^m+1 (ln x)^nm+1 - nm+1 integral x^m (ln x)^n-1 dx
para .

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