Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Basicamente, precisamos descobrir se essa integral “existe”, ou seja, se ela tem um valor finito, e se ela “converge”. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Quando temos uma integral que vai até o infinito, como é o caso aqui, ela é chamada de imprópria porque os limites de integração não são finitos. Nossa missão é ver se, ao deixar
ir para o infinito, a área sob a curva
se aproxima de um número finito.
Passo 3
Vamos reescrever a integral para facilitar o trabalho:
Aqui,
representa um valor grande que se aproxima do infinito. O que faremos agora é calcular essa integral e ver o que acontece quando
cresce sem limites.
Passo 4
Vamos integrar
. A regra de integração para potências de
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites da integral definida:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular o limite conforme
tende ao infinito:
Como
cresce sem limites quando
aumenta, o termo
também tende ao infinito. Subtraindo 3 não muda o fato de que a expressão inteira vai para o infinito.
Passo 7
Já que o limite da integral tende ao infinito, podemos concluir que a integral não converge. Ou seja, ela não tem um valor finito.
Resposta
A integral imprópria
não existe porque diverge para o infinito.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, verifique se
é contínua e derivável no ponto
, determinando
quando for possível.
Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUÇÃã
Resolver as seguintes integrais: