Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
integral1^+infty 1x^2 / 3 dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria integral1^+infty 1x^2/3 dx. Basicamente, precisamos descobrir se essa integral “existe”, ou seja, se ela tem um valor finito, e se ela “converge”. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Quando temos uma integral que vai até o infinito, como é o caso aqui, ela é chamada de imprópria porque os limites de integração não são finitos. Nossa missão é ver se, ao deixar x ir para o infinito, a área sob a curva 1x^2/3 se aproxima de um número finito.

Passo 3

Vamos reescrever a integral para facilitar o trabalho:
integral1^+infty 1x^2/3 dx = limb to +infty integral1^b x^-2/3 dx
Aqui, b representa um valor grande que se aproxima do infinito. O que faremos agora é calcular essa integral e ver o que acontece quando b cresce sem limites.

Passo 4

Vamos integrar x^-2/3. A regra de integração para potências de x é:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C (desde que n neq -1)
No nosso caso, n = -2/3, então:
integral x^-2/3 dx = x^-2/3 + 1-2/3 + 1 + C = x^1/31/3 + C = 3x^1/3 + C

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites da integral definida:
integral1^b x^-2/3 dx = [ 3x^1/3 ]1^b = 3b^1/3 - 3(1)^1/3 = 3b^1/3 - 3

Passo 6

Em seguida, vamos calcular o limite conforme b tende ao infinito:
limb to +infty (3b^1/3 - 3)
Como b^1/3 cresce sem limites quando b aumenta, o termo 3b^1/3 também tende ao infinito. Subtraindo 3 não muda o fato de que a expressão inteira vai para o infinito.

Passo 7

Já que o limite da integral tende ao infinito, podemos concluir que a integral não converge. Ou seja, ela não tem um valor finito.

Resposta

A integral imprópria integral1^+infty 1x^2/3 dx não existe porque diverge para o infinito.

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