Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Basicamente, precisamos descobrir se essa integral “existe”, ou seja, se ela tem um valor finito, e se ela “converge”. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Quando temos uma integral que vai até o infinito, como é o caso aqui, ela é chamada de imprópria porque os limites de integração não são finitos. Nossa missão é ver se, ao deixar ir para o infinito, a área sob a curva se aproxima de um número finito.

Passo 3

Vamos reescrever a integral para facilitar o trabalho:
Aqui, representa um valor grande que se aproxima do infinito. O que faremos agora é calcular essa integral e ver o que acontece quando cresce sem limites.

Passo 4

Vamos integrar . A regra de integração para potências de é:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites da integral definida:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular o limite conforme tende ao infinito:
Como cresce sem limites quando aumenta, o termo também tende ao infinito. Subtraindo 3 não muda o fato de que a expressão inteira vai para o infinito.

Passo 7

Já que o limite da integral tende ao infinito, podemos concluir que a integral não converge. Ou seja, ela não tem um valor finito.

Resposta

A integral imprópria não existe porque diverge para o infinito.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.
Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

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Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

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Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

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