Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo sobre continuidade e derivabilidade de funções. A gente tem uma função definida de forma diferente quando é zero ou não, e precisamos verificar se ela é contínua e derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e derivabilidade, além de usar alguns limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Continuidade significa que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Multiplicando por , temos:
Como , pelo Teorema do Sandwich, o limite também é 0.

Passo 4

Como o limite de quando se aproxima de 0 é 0 e , a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos verificar se é derivável em . Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada:
No entanto, oscila entre -1 e 1 e não possui um limite definido quando se aproxima de 0.

Passo 6

Como o limite não existe, a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em e não é derivável nesse ponto.

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