Em cada um dos itens abaixo, verifique se
é contínua e derivável no ponto
, determinando
quando for possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo sobre continuidade e derivabilidade de funções. A gente tem uma função definida de forma diferente quando
é zero ou não, e precisamos verificar se ela é contínua e derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e derivabilidade, além de usar alguns limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Continuidade significa que o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Multiplicando por
, temos:
Como
, pelo Teorema do Sandwich, o limite também é 0.
Passo 4
Como o limite de
quando
se aproxima de 0 é 0 e
, a função é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é derivável em
. Para isso, precisamos calcular o limite que define a derivada:
No entanto,
oscila entre -1 e 1 e não possui um limite definido quando
se aproxima de 0.
Passo 6
Como o limite não existe, a função
não é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua em
e não é derivável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Encontre:
.
Seja
o bordo orientado de uma certa região
, onde vale o teorema de Gauss. Mostre que
Derive as funções
Sejam
e
funções definidas por
e
. Se
, calcule
.