Seja S=partial Omega o bordo orientado de uma certa região Omega subset R^3, onde vale o teorema de Gauss. Mostre que
vol(Omega)=integralS x d y d z=integralS y d z d x=integralS z d x d y=13 integralS x d y d z+y d z d x+z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma região no espaço tridimensional e seu bordo, que chamamos de . O exercício quer que a gente mostre uma relação entre o volume de e algumas integrais de superfície sobre . Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na matemática para relacionar integrais de volume com integrais de superfície. Precisaremos entender esse teorema e como aplicá-lo para conectar o volume de com as integrais propostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Esse teorema afirma que para um campo vetorial integralOmega nabla cdot F, dV = integralS F cdot n, dS suave em :
Aqui, é a divergência de , é o vetor normal à superfície , e representa um elemento de área na superfície.

Passo 3

Para relacionar o volume de nabla cdot F = nabla cdot ( 13x, 13y, 13z ) = partialpartial x( 13x ) + partialpartial y( 13y ) + partialpartial z( 13z ) = 13 + 13 + 13 = 1 com integrais de superfície, vamos escolher um campo vetorial apropriado. Uma escolha comum para encontrar o volume é usar . Vamos calcular a divergência desse campo:

Passo 4

Agora que temos integralOmega nabla cdot F, dV = integralOmega 1, dV = vol(Omega) , podemos aplicar o Teorema de Gauss:
integralS F cdot n, dS = vol(Omega)
E pelo Teorema de Gauss:

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da igualdade. O campo vetorial F cdot n = 13(x nx + y ny + z nz) , então o produto escalar integralS F cdot n, dS = 13 integralS (x nx + y ny + z nz), dS é:
Portanto, a integral de superfície fica:

Passo 6

Aqui, nx, dS = dy, dz, ny, dS = dz, dx, nz, dS = dx, dy são as componentes do vetor normal 13 integralS (x, dy, dz + y, dz, dx + z, dx, dy) . Vamos notar que:
Essas relações vêm da representação das componentes normais em termos de coordenadas diferenciais. Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Observamos que:
vol(Omega) = 13 integralS (x, dy, dz + y, dz, dx + z, dx, dy)
Além disso, individualmente, podemos escrever:
integralS x, dy, dz = vol(Omega)
integralS y, dz, dx = vol(Omega)
integralS z, dx, dy = vol(Omega)

Resposta

Portanto, mostramos que:
vol(Omega) = integralS x, dy, dz = integralS y, dz, dx = integralS z, dx, dy = 13 integralS (x, dy, dz + y, dz, dx + z, dx, dy)

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