Seja
o bordo orientado de uma certa região
, onde vale o teorema de Gauss. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma região
no espaço tridimensional
e seu bordo, que chamamos de
. O exercício quer que a gente mostre uma relação entre o volume de
e algumas integrais de superfície sobre
. Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na matemática para relacionar integrais de volume com integrais de superfície. Precisaremos entender esse teorema e como aplicá-lo para conectar o volume de
com as integrais propostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Esse teorema afirma que para um campo vetorial
suave em
:
Aqui,
é a divergência de
,
é o vetor normal à superfície
, e
representa um elemento de área na superfície.
Passo 3
Para relacionar o volume de
com integrais de superfície, vamos escolher um campo vetorial
apropriado. Uma escolha comum para encontrar o volume é usar
. Vamos calcular a divergência desse campo:
Passo 4
Agora que temos
, podemos aplicar o Teorema de Gauss:
E pelo Teorema de Gauss:
Passo 5
Vamos expandir o lado direito da igualdade. O campo vetorial
, então o produto escalar
é:
Portanto, a integral de superfície fica:
Passo 6
Aqui,
são as componentes do vetor normal
. Vamos notar que:
Essas relações vêm da representação das componentes normais em termos de coordenadas diferenciais. Substituindo na integral, temos:
Passo 7
Observamos que:
Além disso, individualmente, podemos escrever:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Esboce, no mesmo plano coordenado, os gráficos de
para os valores dados de
:
Determinar o maior conjunto onde
é contínua.
Sejam
e
. Encontre:
.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se
é contínua e derivável no ponto
, determinando
quando for possível.