Seja o bordo orientado de uma certa região , onde vale o teorema de Gauss. Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma região no espaço tridimensional e seu bordo, que chamamos de . O exercício quer que a gente mostre uma relação entre o volume de e algumas integrais de superfície sobre . Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na matemática para relacionar integrais de volume com integrais de superfície. Precisaremos entender esse teorema e como aplicá-lo para conectar o volume de com as integrais propostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Esse teorema afirma que para um campo vetorial suave em :
Aqui, é a divergência de , é o vetor normal à superfície , e representa um elemento de área na superfície.

Passo 3

Para relacionar o volume de com integrais de superfície, vamos escolher um campo vetorial apropriado. Uma escolha comum para encontrar o volume é usar . Vamos calcular a divergência desse campo:

Passo 4

Agora que temos , podemos aplicar o Teorema de Gauss:
E pelo Teorema de Gauss:

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da igualdade. O campo vetorial , então o produto escalar é:
Portanto, a integral de superfície fica:

Passo 6

Aqui, são as componentes do vetor normal . Vamos notar que:
Essas relações vêm da representação das componentes normais em termos de coordenadas diferenciais. Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Observamos que:
Além disso, individualmente, podemos escrever:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Esboce, no mesmo plano coordenado, os gráficos de para os valores dados de :
Determinar o maior conjunto onde é contínua.
Sejam e . Encontre: .
Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.