Derive as funções

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função . Isso envolve cálculo de derivadas, especialmente quando temos funções elevadas a potências que também dependem da variável . Para resolver isso, vamos usar técnicas como logaritmos e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, pra facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso ajuda a transformar potências complicadas em produtos mais simples:
Usando a propriedade dos logaritmos , podemos simplificar:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que se , então a derivada de em relação a é :
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto:
Derivando cada parte:
Simplificando:

Passo 4

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.
Sejam e . Encontre: .
Sejam e funções definidas por e . Se , calcule .
Derive as funções