Em cada um dos itens abaixo, verifique se f é contínua no ponto P.
a) f(x)=lx sen(1 / y) ; se y neq 0 0 ; se y=0 P=(0,0).
b) f(x)=llx^2-y xx^2-y^2 ; & se x neq - y 14(x+y) ; & se x= -^+ y P=(1,1).
c) f(x)=llx^2-y^2x^2+y^2 ; & se (x, y) neq(0,0) 0 ; & se (x, y)=(0,0) P=(0,0).
d) f(x)=llx^2+y^2-1x+y ; & se (x, y) neq(0,0) 0 ; & se (x, y)=(0,0) P=(0,0).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função é contínua no ponto em cada um dos itens (a), (b), © e (d). Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade de funções em análise matemática. Precisaremos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como aplicar esse conceito para cada caso específico.

Passo 2

Item a)

Função dada:
Objetivo: Verificar se f(x, y) = x cdot sen(dfrac1y), & se y neq 0 0, & se y = 0 P = (0, 0) é contínua no ponto lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) .
Teoria:
Uma função lim(x, y) to (0, 0) x cdot sen(dfrac1y) é contínua no ponto |x cdot sen(dfrac1y)| <= |x| se:
lim(x, y) to (0, 0) |x cdot sen(dfrac1y)| <= lim(x, y) to (0, 0) |x| = 0
Ou seja, o limite da função quando lim(x, y) to (0, 0) x cdot sen(dfrac1y) = 0 se aproxima de lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0) deve ser igual ao valor da função naquele ponto.
Resolução:
Vamos calcular o limite de quando .
Sabemos que para qualquer real . Portanto:
À medida que , . Pelo Teorema do Confronto (ou Sandwich Theorem):
Portanto,
Como , temos que:

Resposta

Item a) A função é contínua no ponto .

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