(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo dos limites em funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o comportamento de expressões do tipo
quando
tende ao infinito (positivo ou negativo).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Note que podemos reescrever isso como
.
Passo 3
Vamos analisar cada parte separadamente. Começando por
, sabemos que quando
tende ao infinito positivo, essa expressão se aproxima de
(a base dos logaritmos naturais). No entanto, como
está tendendo a
, precisamos ajustar nosso pensamento.
Passo 4
Quando
tende a
, podemos fazer uma substituição: seja
, onde
tende a
. Assim,
.
Passo 5
Sabemos que
. Então,
tende a
quando
tende a
.
Passo 6
Agora, analisamos a segunda parte:
. Quando
tende a
,
tende a zero. Portanto,
tende a
.
Passo 7
Multiplicando as duas partes, temos que
tende a
.
Resposta
O limite
é igual a
.