Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.
lim x 1 tan (x^2-1)x^2-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o tema de limites em funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento da tangente se comporta próximo de certos valores e aplicar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com limx to 1 (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0 quando se aproxima de 1. Calculando:
Então, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Isso é importante porque vamos usar uma propriedade de limites envolvendo a tangente próxima de 0.

Passo 3

Sabemos que para valores muito pequenos de limu to 0 tan(u)u = 1 , a função pode ser aproximada por . Mais precisamente, existe uma propriedade de limites que diz:
Aqui, podemos fazer uma substituição onde . Vimos no passo anterior que se aproxima de 0 quando se aproxima de 1.

Passo 4

Aplicando a substituição na nossa expressão original:
limx to 1 tan(x^2-1)x^2-1 = limu to 0 tan(u)u
Usando a propriedade de limites que mencionamos, sabemos que:
limu to 0 tan(u)u = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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