Determine o valor de a para que a função f seja contínua em P.
a) f(x)=ll(x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) ; & se (x, y) neq(0,0) a ; & se (x, y)=(0,0) P=(0,0).
b) f(x)=llx^2 y^2raizy^2+1-1 ; & se (x, y) neq(0,0) a-4 ; & se (x, y)=(0,0) P=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item a) desse exercício. O enunciado pede para encontrar o valor de f(x,y) = (x^2+y^2) cdot sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq (0,0) a & se (x, y) = (0,0) que faz a função ser contínua no ponto . A função está definida de duas formas:
Vamos precisar entender o que é continuidade em um ponto e como calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para lim(x,y) to (0,0) f(x,y) = f(0,0) = a ser contínua em , precisamos que:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e igualar a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde lim(x,y) to (0,0) (x^2+y^2) cdot sen(1x^2+y^2) e limr to 0 r^2 cdot sen(1r^2) . Assim, .
Substituindo na expressão:

Passo 4

Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por -1 <= sen(1r^2) <= 1 (que é positivo):

Passo 5

Agora, usamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich). Sabemos que:
limr to 0 (-r^2) = 0 e limr to 0 r^2 = 0
Portanto, pelo Teorema do Confronto:

Passo 6

Então, concluímos que:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) = 0
Para que 0 = a seja contínua em , precisamos que esse limite seja igual a . Ou seja:

Resposta

O valor de deve ser 0 para que a função seja contínua em .

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