Determine o valor de a para que a função
seja contínua em
.
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item a) desse exercício. O enunciado pede para encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua no ponto
. A função
está definida de duas formas:
Vamos precisar entender o que é continuidade em um ponto e como calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para
ser contínua em
, precisamos que:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e igualar a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
.
Substituindo na expressão:
Passo 4
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por
(que é positivo):
Passo 5
Agora, usamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich). Sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Passo 6
Então, concluímos que:
Para que
seja contínua em
, precisamos que esse limite seja igual a
. Ou seja:
Resposta
O valor de
deve ser 0 para que a função
seja contínua em
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, verifique se
é contínua no ponto
.
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)
(a)
Derive:
Lembrete (derivada do produto):
Lembrete (derivada do produto):
Derive: