Determine o valor de a para que a função seja contínua em .
a) .
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item a) desse exercício. O enunciado pede para encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . A função está definida de duas formas:
Vamos precisar entender o que é continuidade em um ponto e como calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para ser contínua em , precisamos que:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e igualar a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, .
Substituindo na expressão:

Passo 4

Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por (que é positivo):

Passo 5

Agora, usamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich). Sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Confronto:

Passo 6

Então, concluímos que:
Para que seja contínua em , precisamos que esse limite seja igual a . Ou seja:

Resposta

O valor de deve ser 0 para que a função seja contínua em .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua no ponto .
a) .
b) .
c) .
d) .
(a)
Derive:
Lembrete (derivada do produto):
Derive: