Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 4 dimensões. A questão nos dá três condições específicas sobre como atua em certos vetores e quer saber se uma transformação assim existe e se há mais de uma possibilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como podemos representar usando uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz correspondente será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de .

Passo 3

A matriz terá a seguinte forma:
Cada coluna de representa como a transformação atua sobre os vetores da base canônica de , ou seja, , e .

Passo 4

Vamos usar as condições fornecidas para encontrar os elementos da matriz . Sabemos que:
Vamos expressar isso em termos da matriz .

Passo 5

Aplicando sobre :
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, aplicando sobre :
Como já sabemos que , isso simplifica para:

Passo 7

Por último, aplicando sobre :
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 8

Agora, podemos montar a matriz completa com os valores encontrados:

Resposta

Existe uma única transformação linear que satisfaz as condições dadas, representada pela matriz:

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b) Seja . Quais as coordenadas do vetor na base ?
Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .
Seja a transformação linear tal que e . Responda aos itens abaixo:
Encontre a lei de .
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. .