Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 4 dimensões. A questão nos dá três condições específicas sobre como atua em certos vetores e quer saber se uma transformação assim existe e se há mais de uma possibilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como podemos representar usando uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz correspondente será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de .
Passo 3
A matriz terá a seguinte forma:
Cada coluna de representa como a transformação atua sobre os vetores da base canônica de , ou seja, , e .
Passo 4
Vamos usar as condições fornecidas para encontrar os elementos da matriz . Sabemos que:
Vamos expressar isso em termos da matriz .
Passo 5
Aplicando sobre :
Isso nos dá:
Passo 6
Agora, aplicando sobre :
Como já sabemos que , isso simplifica para:
Passo 7
Por último, aplicando sobre :
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 8
Agora, podemos montar a matriz completa com os valores encontrados:
Resposta
Existe uma única transformação linear que satisfaz as condições dadas, representada pela matriz: