Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. T: R^3 R^4, tal que T(1,1,1)=(0,3,1,5), T(1,1,0)=(0,0,0,1) e T(1,0,0)= (0,0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 4 dimensões. A questão nos dá três condições específicas sobre como atua em certos vetores e quer saber se uma transformação assim existe e se há mais de uma possibilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como podemos representar usando uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz correspondente será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de .

Passo 3

A matriz A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 a41 & a42 & a43 terá a seguinte forma:
Cada coluna de representa como a transformação atua sobre os vetores da base canônica de , ou seja, , e .

Passo 4

Vamos usar as condições fornecidas para encontrar os elementos da matriz . Sabemos que:
Vamos expressar isso em termos da matriz .

Passo 5

Aplicando A 1 0 0 = a11 a21 a31 a41 = 0 0 0 0 sobre a11 = 0, a21 = 0, a31 = 0, a41 = 0 :
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, aplicando A 1 1 0 = a11 + a12 a21 + a22 a31 + a32 a41 + a42 = 0 0 0 1 sobre a12 = 0, a22 = 0, a32 = 0, a42 = 1 :
Como já sabemos que , isso simplifica para:

Passo 7

Por último, aplicando A 1 1 1 = a11 + a12 + a13 a21 + a22 + a23 a31 + a32 + a33 a41 + a42 + a43 = 0 3 1 5 sobre 0 + 0 + a13 = 0 Rightarrow a13 = 0 :
0 + 0 + a23 = 3 Rightarrow a23 = 3
Substituindo os valores que já encontramos:
0 + 0 + a33 = 1 Rightarrow a33 = 1
0 + 1 + a43 = 5 Rightarrow a43 = 4

Passo 8

Agora, podemos montar a matriz A = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 0 & 1 & 4 completa com os valores encontrados:

Resposta

Existe uma única transformação linear A = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 0 & 1 & 4 que satisfaz as condições dadas, representada pela matriz:

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