b) Seja . Quais as coordenadas do vetor na base ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases diferentes no espaço vetorial: a base B e a base C. Nos é dado um vetor , ou seja, as coordenadas de z na base B são 1, 3 e 1. A base C é definida pelos vetores:
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor z na base C.
Para resolver isso, precisamos entender como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a troca de base, e seguir passo a passo para garantir que tudo fique claro.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a base B e a base C de forma mais clara. Supondo que a base B seja a base canônica , onde:
A base C é dada pelos vetores definidos acima.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de z na base C, precisamos expressar z como uma combinação linear dos vetores da base C. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo os valores de :

Passo 4

Vamos expandir essa expressão:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Sabemos que , ou seja:
Comparando com a expressão que obtivemos:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de .
Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Com , encontramos :
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 7

Agora que temos os valores de , podemos concluir que:
Portanto, as coordenadas do vetor z na base C são .

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

Exercícios relacionados

Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .
Sejam e
(e) Se , quais são as suas coordenadas em relação a base canônica?
Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .
Seja a transformação linear tal que e . Responda aos itens abaixo:
Encontre a lei de .