g1=e1+e2+e3 g2=2 e1+e3 g3=e2
b) Seja z=(1,3,1)B. Quais as coordenadas do vetor z na base C ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases diferentes no espaço vetorial: a base B e a base C. Nos é dado um vetor g1 = e1 + e2 + e3 g2 = 2 e1 + e3 g3 = e2 , ou seja, as coordenadas de z na base B são 1, 3 e 1. A base C é definida pelos vetores:
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor z na base C.
Para resolver isso, precisamos entender como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a troca de base, e seguir passo a passo para garantir que tudo fique claro.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a base B e a base C de forma mais clara. Supondo que a base B seja a base canônica e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) , onde:
A base C é dada pelos vetores definidos acima.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de z na base C, precisamos expressar z como uma combinação linear dos vetores da base C. Ou seja, queremos encontrar escalares z = a g1 + b g2 + c g3 tais que:
z = a(e1 + e2 + e3) + b(2e1 + e3) + c e2
Substituindo os valores de :

Passo 4

Vamos expandir essa expressão:
z = a e1 + a e2 + a e3 + 2b e1 + b e3 + c e2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
z = (a + 2b) e1 + (a + c) e2 + (a + b) e3

Passo 5

Sabemos que z = 1 e1 + 3 e2 + 1 e3 , ou seja:
(a + 2b) e1 + (a + c) e2 + (a + b) e3 = 1 e1 + 3 e2 + 1 e3
Comparando com a expressão que obtivemos:
a + 2b = 1 a + c = 3 a + b = 1
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a + b = 1 Rightarrow a = 1 - b .
Primeiro, da terceira equação:
(1 - b) + 2b = 1 Rightarrow 1 + b = 1 Rightarrow b = 0
Agora, substituímos a = 1 - 0 = 1 na primeira equação:
1 + c = 3 Rightarrow c = 2
Com , encontramos :
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 7

Agora que temos os valores de a = 1, b = 0, c = 2 , podemos concluir que:
Portanto, as coordenadas do vetor z na base C são .

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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