Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases diferentes no espaço vetorial: a base B e a base C. Nos é dado um vetor , ou seja, as coordenadas de z na base B são 1, 3 e 1. A base C é definida pelos vetores:
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor z na base C.
Para resolver isso, precisamos entender como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a troca de base, e seguir passo a passo para garantir que tudo fique claro.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a base B e a base C de forma mais clara. Supondo que a base B seja a base canônica , onde:
A base C é dada pelos vetores definidos acima.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de z na base C, precisamos expressar z como uma combinação linear dos vetores da base C. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo os valores de :
Passo 4
Vamos expandir essa expressão:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Sabemos que , ou seja:
Comparando com a expressão que obtivemos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de .
Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Com , encontramos :
Agora, substituímos na segunda equação:
Passo 7
Agora que temos os valores de , podemos concluir que:
Portanto, as coordenadas do vetor z na base C são .