Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo: tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para exibirmos exemplos de transformações lineares onde a imagem de é apenas o vetor zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa a imagem de uma transformação, e como podemos construir exemplos que atendam a essa condição.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear entre espaços vetoriais é uma função que preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores e escalar :
Passo 3
A imagem de uma transformação linear , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Ou seja:
Quando a imagem é apenas o vetor zero, isso significa que para todo vetor em .
Passo 4
Para construir tal transformação, podemos definir de forma que, independentemente do vetor de entrada, o resultado seja sempre o vetor zero. Uma forma simples de fazer isso é usar uma matriz de transformação onde todas as entradas são zero. Por exemplo, podemos usar a matriz zero :
Passo 5
Aplicando essa matriz a qualquer vetor , temos:
Resposta
Um exemplo de transformação linear que satisfaz é a transformação representada pela matriz zero: