Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para exibirmos exemplos de transformações lineares onde a imagem de é apenas o vetor zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa a imagem de uma transformação, e como podemos construir exemplos que atendam a essa condição.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear entre espaços vetoriais é uma função que preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores e escalar :

Passo 3

A imagem de uma transformação linear , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Ou seja:
Quando a imagem é apenas o vetor zero, isso significa que para todo vetor em .

Passo 4

Para construir tal transformação, podemos definir de forma que, independentemente do vetor de entrada, o resultado seja sempre o vetor zero. Uma forma simples de fazer isso é usar uma matriz de transformação onde todas as entradas são zero. Por exemplo, podemos usar a matriz zero :

Passo 5

Aplicando essa matriz a qualquer vetor , temos:

Resposta

Um exemplo de transformação linear que satisfaz é a transformação representada pela matriz zero:

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Sejam e
(e) Se , quais são as suas coordenadas em relação a base canônica?
Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .
b) Seja . Quais as coordenadas do vetor na base ?
Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .