Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
T: R^3 R^3 tal que Im(T)=(0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para exibirmos exemplos de transformações lineares onde a imagem de é apenas o vetor zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa a imagem de uma transformação, e como podemos construir exemplos que atendam a essa condição.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear entre espaços vetoriais é uma função que preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e escalar T(cu) = cT(u) :

Passo 3

A imagem de uma transformação linear Im(T) = T(x) mid x in R^3 , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Ou seja:
Quando a imagem é apenas o vetor zero, isso significa que para todo vetor em .

Passo 4

Para construir tal transformação, podemos definir A = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 de forma que, independentemente do vetor de entrada, o resultado seja sempre o vetor zero. Uma forma simples de fazer isso é usar uma matriz de transformação onde todas as entradas são zero. Por exemplo, podemos usar a matriz zero :

Passo 5

Aplicando essa matriz a qualquer vetor T(x) = Ax = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 x1 x2 x3 = 0 0 0 , temos:

Resposta

Um exemplo de transformação linear que satisfaz T(x) = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 x = 0 0 0 é a transformação representada pela matriz zero:

Exercícios relacionados