Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se existe uma transformação linear que satisfaça as seguintes condições:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e como elas são representadas por matrizes.

Passo 2

Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de , usamos uma matriz 2x2 tal que:
onde é um vetor de .

Passo 3

As colunas da matriz correspondem às imagens dos vetores da base canônica. Ou seja:
  • A primeira coluna de é .
  • A segunda coluna de é .
Dado que:
A matriz seria:

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa matriz satisfaz a terceira condição .
Calculando usando :

Passo 5

Comparando com a condição dada:
Obtemos:
Isso mostra uma inconsistência.

Resposta

Não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas simultaneamente.

Exercícios relacionados

Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando e antissimétrica quando . © Determine os valores de e a fim de que a matriz seja antissimétrica.
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(b) e ;
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. , onde .