Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. T: R^2 R^2, tal que T(1,1)=(1,2), T(1,0)=(0,0) e T(0,1)=(2,1).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se existe uma transformação linear que satisfaça as seguintes condições:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e como elas são representadas por matrizes.

Passo 2

Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de T(v) = A v , usamos uma matriz 2x2 tal que:
onde é um vetor de .

Passo 3

As colunas da matriz T(1,0) = (0,0) correspondem às imagens dos vetores da base canônica. Ou seja:
  • A primeira coluna de T(0,1) = (2,1) é A = 0 & 2 0 & 1 .
  • A segunda coluna de é .
Dado que:
A matriz seria:

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa matriz T(1,1) = A 1 1 = 0 times 1 + 2 times 1 0 times 1 + 1 times 1 = 2 1 satisfaz a terceira condição .
Calculando usando :

Passo 5

Comparando com a condição dada:
T(1,1) = (1,2)
Obtemos:
(2,1) neq (1,2)
Isso mostra uma inconsistência.

Resposta

Não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas simultaneamente.

Exercícios relacionados