Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma.
, tal que
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se existe uma transformação linear
que satisfaça as seguintes condições:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e como elas são representadas por matrizes.
Passo 2
Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de
, usamos uma matriz
2x2 tal que:
onde
é um vetor de
.
Passo 3
As colunas da matriz
correspondem às imagens dos vetores da base canônica. Ou seja:
- A primeira coluna de
é . - A segunda coluna de
é .
Dado que:
A matriz
seria:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa matriz
satisfaz a terceira condição
.
Calculando
usando
:
Passo 5
Comparando com a condição dada:
Obtemos:
Isso mostra uma inconsistência.
Resposta
Não existe uma transformação linear
que satisfaça todas as condições dadas simultaneamente.
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e antissimétrica quando
. © Determine os valores de
e
a fim de que a matriz
seja antissimétrica.
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.
(b) e
;
(b)
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
, onde
.