Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. F: M2 times 2(R) M2 times 2(R), F(X)=A X, onde A=(ll1 & 2 2 & 4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear 1 & 2 2 & 4 definida por , onde . Basicamente, vamos ver quais matrizes fazem (núcleo) e quais matrizes podem ser escritas como para alguma (imagem). Para isso, vamos precisar entender conceitos de núcleo e imagem de transformações lineares e resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de x11 & x12 x21 & x22 , ou seja, todas as matrizes 1 & 2 2 & 4 x11 & x12 x21 & x22 = 0 & 0 0 & 0 tais que 1 cdot x11 + 2 cdot x21 & 1 cdot x12 + 2 cdot x22 2 cdot x11 + 4 cdot x21 & 2 cdot x12 + 4 cdot x22 = 0 & 0 0 & 0 . Vamos escrever x11 + 2x21 = 0 x12 + 2x22 = 0 2x11 + 4x21 = 0 2x12 + 4x22 = 0 como . Então, a equação fica:
Vamos multiplicar as matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Observamos que as duas últimas equações são múltiplas das primeiras, então na verdade temos apenas duas equações independentes:
x11 + 2x21 = 0 x12 + 2x22 = 0
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos X = -2x21 & -2x22 x21 & x22 = x21 -2 & 0 1 & 0 + x22 0 & -2 0 & 1 . Da segunda, . Então, as soluções são todas as matrizes da forma:

Passo 4

Isso significa que o núcleo de -2 & 0 1 & 0 é gerado pelas matrizes 0 & -2 0 & 1 e -2 & 0 1 & 0 , 0 & -2 0 & 1 . Portanto, uma base para o núcleo de é:

Passo 5

Agora, vamos para a imagem de AX = A cdot I = 1 & 2 2 & 4 1 & 0 0 & 1 = 1 & 2 2 & 4 . A imagem consiste em todas as matrizes que podem ser expressas como 1 & 2 2 & 4 para algum . Como é uma matriz com linhas linearmente dependentes (a segunda linha é o dobro da primeira), a imagem de será um subespaço de com dimensão 1.
Para encontrar uma base da imagem, basta achar uma matriz que não seja a matriz nula. Vamos escolher como a matriz identidade :
Portanto, a imagem de é gerada por , e uma base para a imagem é:

Resposta

O núcleo de -2 & 0 1 & 0 é o conjunto de matrizes geradas por 0 & -2 0 & 1 e Núc<=o(F) = span -2 & 0 1 & 0 , 0 & -2 0 & 1 . Ou seja,
Ima>=m(F) = span 1 & 2 2 & 4 ú
A imagem de é gerada pela matriz , portanto,

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