Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por , onde . Basicamente, vamos ver quais matrizes fazem (núcleo) e quais matrizes podem ser escritas como para alguma (imagem). Para isso, vamos precisar entender conceitos de núcleo e imagem de transformações lineares e resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todas as matrizes tais que . Vamos escrever como . Então, a equação fica:
Vamos multiplicar as matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Observamos que as duas últimas equações são múltiplas das primeiras, então na verdade temos apenas duas equações independentes:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos . Da segunda, . Então, as soluções são todas as matrizes da forma:

Passo 4

Isso significa que o núcleo de é gerado pelas matrizes e . Portanto, uma base para o núcleo de é:

Passo 5

Agora, vamos para a imagem de . A imagem consiste em todas as matrizes que podem ser expressas como para algum . Como é uma matriz com linhas linearmente dependentes (a segunda linha é o dobro da primeira), a imagem de será um subespaço de com dimensão 1.
Para encontrar uma base da imagem, basta achar uma matriz que não seja a matriz nula. Vamos escolher como a matriz identidade :
Portanto, a imagem de é gerada por , e uma base para a imagem é:

Resposta

O núcleo de é o conjunto de matrizes geradas por e . Ou seja,
ú
A imagem de é gerada pela matriz , portanto,

Exercícios relacionados

Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(b) e ;
Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .
Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: sobrejetiva sobrejetiva.
Seja a base canônica de . Se é dada por
Encontre , em que é base de .