Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. , onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por , onde . Basicamente, vamos ver quais matrizes fazem (núcleo) e quais matrizes podem ser escritas como para alguma (imagem). Para isso, vamos precisar entender conceitos de núcleo e imagem de transformações lineares e resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todas as matrizes tais que . Vamos escrever como . Então, a equação fica:
Vamos multiplicar as matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Observamos que as duas últimas equações são múltiplas das primeiras, então na verdade temos apenas duas equações independentes:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos . Da segunda, . Então, as soluções são todas as matrizes da forma:
Passo 4
Isso significa que o núcleo de é gerado pelas matrizes e . Portanto, uma base para o núcleo de é:
Passo 5
Agora, vamos para a imagem de . A imagem consiste em todas as matrizes que podem ser expressas como para algum . Como é uma matriz com linhas linearmente dependentes (a segunda linha é o dobro da primeira), a imagem de será um subespaço de com dimensão 1.
Para encontrar uma base da imagem, basta achar uma matriz que não seja a matriz nula. Vamos escolher como a matriz identidade :
Portanto, a imagem de é gerada por , e uma base para a imagem é:
Resposta
O núcleo de é o conjunto de matrizes geradas por e . Ou seja,