Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de R^3.
(b) (1,1,-1),(2,3,4),(4,1,-1) e (0,1,-1);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro vetores no espaço tridimensional R^3: (1,1,-1), (2,3,4), (4,1,-1) e (0,1,-1). A pergunta é para verificar se esses vetores formam uma base de R^3. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de base e independência linear na álgebra linear.

Passo 2

Uma base de R^3 é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^3. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Para verificar se os quatro vetores fornecidos formam uma base, precisamos verificar dois pontos:
  1. Independência Linear: Os vetores são linearmente independentes?
  2. Geração do Espaço: Os vetores geram todo o espaço R^3?
No entanto, note que uma base de R^3 deve ter exatamente três vetores. Como temos quatro vetores, é provável que haja dependência linear entre eles. Mesmo assim, vamos proceder com a verificação.

Passo 4

Vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
A = 1 & 2 & 4 & 0 1 & 3 & 1 & 1 -1 & 4 & -1 & -1
Nosso objetivo é determinar se essas colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Para verificar a independência linear, vamos calcular o posto (rank) da matriz. Se o posto for igual ao número de vetores (neste caso, 4), os vetores são linearmente independentes. Porém, como estamos em R^3, o máximo de vetores linearmente independentes que podemos ter é 3. Portanto, já sabemos que esses quatro vetores são dependentes linearmente.

Passo 6

Como os quatro vetores são dependentes linearmente, não é possível que eles formem uma base para R^3. Uma base precisa ser um conjunto mínimo de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ter vetores a mais do que o necessário (neste caso, mais de três) compromete a independência linear.

Resposta

Os vetores (1,1,-1), (2,3,4), (4,1,-1) e (0,1,-1) não formam uma base de R^3, pois são linearmente dependentes.

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