Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(b) e ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro vetores no espaço tridimensional : , , e . A pergunta é para verificar se esses vetores formam uma base de . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de base e independência linear na álgebra linear.
Passo 2
Uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Para verificar se os quatro vetores fornecidos formam uma base, precisamos verificar dois pontos:
Independência Linear: Os vetores são linearmente independentes?
Geração do Espaço: Os vetores geram todo o espaço ?
No entanto, note que uma base de deve ter exatamente três vetores. Como temos quatro vetores, é provável que haja dependência linear entre eles. Mesmo assim, vamos proceder com a verificação.
Passo 4
Vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Nosso objetivo é determinar se essas colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Para verificar a independência linear, vamos calcular o posto (rank) da matriz. Se o posto for igual ao número de vetores (neste caso, 4), os vetores são linearmente independentes. Porém, como estamos em , o máximo de vetores linearmente independentes que podemos ter é 3. Portanto, já sabemos que esses quatro vetores são dependentes linearmente.
Passo 6
Como os quatro vetores são dependentes linearmente, não é possível que eles formem uma base para . Uma base precisa ser um conjunto mínimo de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ter vetores a mais do que o necessário (neste caso, mais de três) compromete a independência linear.
Resposta
Os vetores , , e não formam uma base de , pois são linearmente dependentes.