Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que verificar se existe uma transformação linear que satisfaça as seguintes condições:
Além disso, precisamos descobrir se há mais de uma transformação que atende a essas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, , então a matriz associada a será uma matriz (4 linhas e 3 colunas).
Vamos chamar a matriz de , então:
Aqui, cada representa um coeficiente que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos usar as condições dadas para encontrar os valores dos coeficientes da matriz .
Sabemos que:
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores correspondentes e igualar aos resultados dados:









Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de .
Primeiro, da terceira condição:
Agora, usando essas informações na primeira condição:
Agora, da segunda condição:
óá
Oops! Aqui temos um problema. A última equação resulta em , o que é impossível. Isso significa que não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas ao mesmo tempo.

Resposta

Não existe uma transformação linear que atenda às condições especificadas no exercício.

Exercícios relacionados

Considere as bases , e a base canônica de .
(b) , determine suas coordenadas em relação a base .
Considere a transformação linear tal que e . Determine a matriz canônica de e verifique se é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso .
Se
ache .
Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras:
dada por .