Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. T: R^3 R^4, tal que T(1,1,1)=(0,3,1,5), T(1,1,0)=(0,0,0,1) e T(0,0,1)= (0,0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que verificar se existe uma transformação linear que satisfaça as seguintes condições:
Além disso, precisamos descobrir se há mais de uma transformação que atende a essas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 a41 & a42 & a43 , então a matriz associada a será uma matriz (4 linhas e 3 colunas).
Vamos chamar a matriz de , então:
Aqui, cada representa um coeficiente que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos usar as condições dadas para encontrar os valores dos coeficientes da matriz 111.
Sabemos que:
  1. 0315
  2. 110
  3. 0001
Vamos multiplicar a matriz 001 pelos vetores correspondentes e igualar aos resultados dados:
  1. 0000








Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de a13 = 0, a23 = 0, a33 = 0, a43 = 0 .
Primeiro, da terceira condição:
a11 + a12 = 0 Rightarrow a12 = -a11
Agora, usando essas informações na primeira condição:
a21 + a22 = 3 Rightarrow a22 = 3 - a21
a31 + a32 = 1 Rightarrow a32 = 1 - a31
a41 + a42 = 5 Rightarrow a42 = 5 - a41
a11 + a12 = 0 Rightarrow 0 = 0 (ória já satisfeita)
Agora, da segunda condição:
a21 + a22 = 0 Rightarrow a21 + (3 - a21) = 0 Rightarrow 3 = 0 óá
Oops! Aqui temos um problema. A última equação resulta em , o que é impossível. Isso significa que não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas ao mesmo tempo.

Resposta

Não existe uma transformação linear que atenda às condições especificadas no exercício.

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