Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que verificar se existe uma transformação linear que satisfaça as seguintes condições:
Além disso, precisamos descobrir se há mais de uma transformação que atende a essas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, , então a matriz associada a será uma matriz (4 linhas e 3 colunas).
Vamos chamar a matriz de , então:
Aqui, cada representa um coeficiente que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos usar as condições dadas para encontrar os valores dos coeficientes da matriz .
Sabemos que:
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores correspondentes e igualar aos resultados dados:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de .
Primeiro, da terceira condição:
Agora, usando essas informações na primeira condição:
Agora, da segunda condição:
óá
Oops! Aqui temos um problema. A última equação resulta em , o que é impossível. Isso significa que não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas ao mesmo tempo.
Resposta
Não existe uma transformação linear que atenda às condições especificadas no exercício.