Considere a transformação linear tal que e . Determine a matriz canônica de e verifique se é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma transformação linear definida por três vetores:
Queremos encontrar a matriz canônica dessa transformação. Além disso, precisamos verificar se é um isomorfismo, ou seja, se é uma transformação linear que é bijetora (injetora e sobrejetora). Se for, também vamos encontrar a transformação inversa.
Para resolver isso, vamos seguir esses passos:
Montar um sistema de equações para encontrar a matriz de .
Resolver esse sistema para determinar a matriz canônica.
Verificar se a matriz é invertível (o que confirma que é um isomorfismo).
Se for invertível, calcular a matriz inversa .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz de ordem tal que , onde é um vetor em .
Queremos encontrar essa matriz .
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Agora, sabemos que:
Vamos multiplicar pelo vetor :
[
]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Fazendo o mesmo para os outros vetores dados:
Para :
Multiplicando:
[
]
Isso nos dá mais três equações:
Passo 5
Para :
Multiplicando:
[
]
Mais três equações:
Passo 6
Agora, temos um sistema de 9 equações:
Vamos resolver passo a passo:
Primeiro, da primeira equação: =>
Segunda equação: =>
Terceira equação: =>
Quarta equação: =>
Quinta equação: =>
Sexta equação: =>
Agora, substituímos essas expressões nas próximas três equações:
Sétima equação:
Substituindo e :
Com , temos:
Oitava equação:
Substituindo e :
Com , temos:
Nonona equação:
Substituindo e :
Com , temos:
Passo 7
Então, juntando todos os valores encontrados:
Portanto, a matriz canônica de é:
Passo 8
Agora, vamos verificar se é um isomorfismo. Para isso, precisamos verificar se a matriz é invertível, ou seja, se seu determinante é diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Calculando cada menor:
Substituindo:
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz é invertível, o que significa que é um isomorfismo.
Passo 9
Como é um isomorfismo, podemos encontrar sua transformação inversa . A matriz inversa pode ser calculada utilizando a fórmula da matriz inversa para matrizes , mas aqui vamos simplificar usando métodos de cálculo de inversa (como regra de Sarrus ou a matriz adjunta).
Para calcular :
Calculando o inverso:
Sabemos que , então:
Sem entrar nos detalhes longos do cálculo da adjunta, ao resolver encontramos:
Resposta
A matriz canônica de é:
Como o determinante de é diferente de zero (), é um isomorfismo. A transformação inversa é representada pela matriz inversa de :