Considere a transformação linear tal que e . Determine a matriz canônica de e verifique se é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma transformação linear definida por três vetores:
Queremos encontrar a matriz canônica dessa transformação. Além disso, precisamos verificar se é um isomorfismo, ou seja, se é uma transformação linear que é bijetora (injetora e sobrejetora). Se for, também vamos encontrar a transformação inversa.
Para resolver isso, vamos seguir esses passos:
Montar um sistema de equações para encontrar a matriz de .
Resolver esse sistema para determinar a matriz canônica.
Verificar se a matriz é invertível (o que confirma que é um isomorfismo).
Se for invertível, calcular a matriz inversa .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz de ordem tal que , onde é um vetor em .
Queremos encontrar essa matriz .
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Agora, sabemos que:
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot (-1) d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot (-1) g cdot 1 + h cdot 0 + i cdot (-1) = a - c d - f g - i = 1 -1 0
Vamos multiplicar a - c = 1 d - f = -1 g - i = 0 pelo vetor :
[
]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Fazendo o mesmo para os outros vetores dados:
Para A 0 1 2 = 1 0 -1 :
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 2 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 2 g cdot 0 + h cdot 1 + i cdot 2 = b + 2c e + 2f h + 2i = 1 0 -1
Multiplicando:
[ b + 2c = 1 e + 2f = 0 h + 2i = -1
]
Isso nos dá mais três equações:
Passo 5
Para A -1 1 4 = 5 1 -7 :
a cdot (-1) + b cdot 1 + c cdot 4 d cdot (-1) + e cdot 1 + f cdot 4 g cdot (-1) + h cdot 1 + i cdot 4 = -b + a + 4c -d + e + 4f -g + h + 4i = 5 1 -7
Multiplicando:
[ -a + b + 4c = 5 -d + e + 4f = 1 -g + h + 4i = -7
]
Mais três equações:
Passo 6
Agora, temos um sistema de 9 equações:
a - c = 1 d - f = -1 g - i = 0 b + 2c = 1 e + 2f = 0 h + 2i = -1 -a + b + 4c = 5 -d + e + 4f = 1 -g + h + 4i = -7
Vamos resolver passo a passo:
Primeiro, da primeira equação: -(1 + c) + (1 - 2c) + 4c = 5 -1 - c + 1 - 2c + 4c = 5 (-1 + 1) + (-c -2c +4c) = 5 0 + c = 5 c = 5 => a = 1 + 5 = 6 b = 1 - 2 cdot 5 = 1 -10 = -9
Segunda equação: -(f -1) + (-2f) + 4f = 1 -f +1 -2f +4f = 1 (-f -2f +4f) +1 = 1 (1f) +1 = 1 f +1 =1 f =0 => d = 0 -1 = -1 e = -2 cdot 0 = 0