Se
ache .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas bases diferentes, e , e uma matriz de mudança de base que transforma coordenadas de para . Além disso, temos os vetores e expressos nessas bases. O conteúdo aqui é sobre mudança de base e operações com vetores em diferentes bases. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a matriz de mudança de base e como operar com os vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz de mudança de base . Essa matriz nos permite converter as coordenadas de um vetor da base para a base . A matriz dada é:

Passo 3

Temos o vetor , que está na base . Para operar com ele na base , precisamos converter suas coordenadas para a base usando a matriz de mudança de base.

Passo 4

Para converter para , usamos a seguinte relação:
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:

Passo 5

Calculando cada entrada do vetor resultante:
  • Primeira entrada:
  • Segunda entrada:
  • Terceira entrada:
Então, .

Passo 6

Agora, temos o vetor já na base . A questão pede para encontrar . Contudo, percebemos que não foi diretamente fornecido, mas podemos inferir que talvez queira-se o produto escalar ou alguma operação similar. Porém, considerando que já convertemos para , vamos assumir que o objetivo é encontrar o produto escalar entre e .

Passo 7

O produto escalar entre dois vetores e é calculado da seguinte forma:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:

Passo 8

Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .
Considere as bases , e a base canônica de .
(b) , determine suas coordenadas em relação a base .
Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras:
dada por .
Uma matriz quadrada é dita triangular superior se , quando . Dizemos que é triangular inferior se , quando . Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos , isto é, . (i) Se é uma matriz simétrica de ordem , então .