Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras: dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pede para a gente classificar uma transformação linear como injetora, sobrejetora e/ou bijetora. Então, vamos usar conceitos de transformações lineares e entender o que cada uma dessas classificações significa para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são transformações injetoras, sobrejetoras e bijetoras.
Injetora: Uma transformação é injetora se cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único no contradomínio. Isso significa que não há dois vetores diferentes no domínio que apontem para o mesmo vetor no contradomínio.
Sobrejetora: É sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, a imagem da transformação cobre todo o espaço de chegada.
Bijetora: Se a transformação for tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora. Isso significa que há uma correspondência exata entre os elementos do domínio e do contradomínio.
Passo 3
Agora, vamos analisar a transformação linear dada:
Para classificar , precisamos verificar se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos representar como uma matriz e calcular o posto dessa matriz.
Passo 4
Primeiro, representamos a transformação como uma matriz . Cada coluna de corresponde aos coeficientes das variáveis nas entradas da matriz de .
Então, teremos:
Agora, vamos calcular o posto dessa matriz , que nos dirá o número de colunas linearmente independentes. O posto também nos ajuda a determinar se a transformação é injetora e/ou sobrejetora.
Passo 5
Para encontrar o posto da matriz , podemos reduzir para a forma escalonada usando operações elementares de linha.
Começando com a matriz:
Vamos realizar as operações necessárias para simplificar:
Multiplicamos a primeira linha por -1 para facilitar os cálculos:
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
Multiplicamos a segunda linha por -1:
Subtraímos 11 vezes a segunda linha da terceira linha e adicionamos 6 vezes a segunda linha à quarta linha:
Finalmente, somamos a terceira linha com a quarta linha:
Agora, a matriz está na forma escalonada, e podemos ver que todas as quatro linhas possuem pivôs (elementos não nulos), o que significa que o posto da matriz é 4.
Passo 6
Sabemos que o espaço de chegada tem dimensão 4, já que cada matriz 2x2 tem 4 entradas independentes. Como o posto de é 4, a transformação é de posto máximo, ou seja, sua imagem é todo o espaço de chegada.
Além disso, como o posto é igual à dimensão do domínio (), a transformação é injetora.
Portanto, é tanto injetora quanto sobrejetora, o que a torna bijetora.
Resposta
A transformação linear é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora.