Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras:
T: R^4 M(2,2) dada por T(x, y, z, w)=[cc-x-4 y+3 z+4 w & 3 x+11 y-8 z-3 w -2 x+3 y-6 z+6 w & x-2 y+4 z-51 w].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pede para a gente classificar uma transformação linear como injetora, sobrejetora e/ou bijetora. Então, vamos usar conceitos de transformações lineares e entender o que cada uma dessas classificações significa para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são transformações injetoras, sobrejetoras e bijetoras.
  • Injetora: Uma transformação é injetora se cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único no contradomínio. Isso significa que não há dois vetores diferentes no domínio que apontem para o mesmo vetor no contradomínio.
  • Sobrejetora: É sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, a imagem da transformação cobre todo o espaço de chegada.
  • Bijetora: Se a transformação for tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora. Isso significa que há uma correspondência exata entre os elementos do domínio e do contradomínio.

Passo 3

Agora, vamos analisar a transformação linear dada:
T(x, y, z, w) = -x - 4y + 3z + 4w & 3x + 11y - 8z - 3w -2x + 3y - 6z + 6w & x - 2y + 4z - 51w
Para classificar , precisamos verificar se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos representar como uma matriz e calcular o posto dessa matriz.

Passo 4

Primeiro, representamos a transformação A = -1 & -4 & 3 & 4 3 & 11 & -8 & -3 -2 & 3 & -6 & 6 1 & -2 & 4 & -51 como uma matriz . Cada coluna de corresponde aos coeficientes das variáveis nas entradas da matriz de .
Então, teremos:
Agora, vamos calcular o posto dessa matriz , que nos dirá o número de colunas linearmente independentes. O posto também nos ajuda a determinar se a transformação é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 5

Para encontrar o posto da matriz A = -1 & -4 & 3 & 4 3 & 11 & -8 & -3 -2 & 3 & -6 & 6 1 & -2 & 4 & -51 , podemos reduzir 1 & 4 & -3 & -4 3 & 11 & -8 & -3 -2 & 3 & -6 & 6 1 & -2 & 4 & -51 para a forma escalonada usando operações elementares de linha.
Começando com a matriz:
1 & 4 & -3 & -4 0 & -1 & 1 & 9 -2 & 3 & -6 & 6 1 & -2 & 4 & -51
Vamos realizar as operações necessárias para simplificar:
  1. Multiplicamos a primeira linha por -1 para facilitar os cálculos:
1 & 4 & -3 & -4 0 & -1 & 1 & 9 0 & 11 & -12 & -2 1 & -2 & 4 & -51
  1. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
1 & 4 & -3 & -4 0 & -1 & 1 & 9 0 & 11 & -12 & -2 0 & -6 & 7 & -47
  1. Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
1 & 4 & -3 & -4 0 & 1 & -1 & -9 0 & 11 & -12 & -2 0 & -6 & 7 & -47
  1. Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
1 & 4 & -3 & -4 0 & 1 & -1 & -9 0 & 0 & -1 & 97 0 & 0 & 1 & -101
  1. Multiplicamos a segunda linha por -1:
1 & 4 & -3 & -4 0 & 1 & -1 & -9 0 & 0 & -1 & 97 0 & 0 & 0 & -4
  1. Subtraímos 11 vezes a segunda linha da terceira linha e adicionamos 6 vezes a segunda linha à quarta linha:
  1. Finalmente, somamos a terceira linha com a quarta linha:
Agora, a matriz está na forma escalonada, e podemos ver que todas as quatro linhas possuem pivôs (elementos não nulos), o que significa que o posto da matriz é 4.

Passo 6

Sabemos que o espaço de chegada tem dimensão 4, já que cada matriz 2x2 tem 4 entradas independentes. Como o posto de é 4, a transformação é de posto máximo, ou seja, sua imagem é todo o espaço de chegada.
Além disso, como o posto é igual à dimensão do domínio ( ), a transformação é injetora.
Portanto, é tanto injetora quanto sobrejetora, o que a torna bijetora.

Resposta

A transformação linear é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora.

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