Considere as bases B=(1,2),(2,1), D=(2,3),(4,5), e a base canônica C de R^2.
(b) Se[v]B=(1,1)B, determine suas coordenadas em relação a base D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base e uma base , além da base canônica de . O que a gente precisa fazer é transformar as coordenadas do vetor que estão na base para a base . Basicamente, vamos descobrir como esse vetor fica representado na outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa v = 1 cdot (1,2) + 1 cdot (2,1) . Isso quer dizer que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base , multiplicados por 1 cada. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular v = (1,2) + (2,1) = (1+2, 2+1) = (3,3) na base canônica , que é simplesmente . Fazendo a conta:
Então, na base canônica, é .

Passo 4

Nosso próximo passo é expressar o vetor v = a cdot (2,3) + b cdot (4,5) na base 2a + 4b = 3 3a + 5b = 3 . Queremos encontrar os coeficientes e tais que:
Isso se traduz no seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar 2a + 4b = 3 implies a = 3 - 4b2 e 3(3 - 4b2) + 5b = 3 . Da primeira equação:
9 - 12b2 + 5b = 3 implies 9 - 12b + 10b2 = 3
Substituindo 9 - 2b = 6 implies -2b = -3 implies b = 32 na segunda equação:
a = 3 - 4(32)2 = 3 - 62 = -32
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, substituindo na expressão para :

Resposta

Portanto, as coordenadas de na base são .

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