Considere as bases , e a base canônica de .
(b) , determine suas coordenadas em relação a base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base e uma base , além da base canônica de . O que a gente precisa fazer é transformar as coordenadas do vetor que estão na base para a base . Basicamente, vamos descobrir como esse vetor fica representado na outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base , multiplicados por 1 cada. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular na base canônica , que é simplesmente . Fazendo a conta:
Então, na base canônica, é .

Passo 4

Nosso próximo passo é expressar o vetor na base . Queremos encontrar os coeficientes e tais que:
Isso se traduz no seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, substituindo na expressão para :

Resposta

Portanto, as coordenadas de na base são .

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Considere a transformação linear tal que e . Determine a matriz canônica de e verifique se é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso .
Em cada um dos itens abaixo, verifique se existe uma transformação linear satisfazendo as condições dadas, e se existe mais de uma. , tal que e .
Se
ache .