Considere as bases
, e a base canônica
de
.
(b)
, determine suas coordenadas em relação a base
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base
e uma base
, além da base canônica
de
. O que a gente precisa fazer é transformar as coordenadas do vetor
que estão na base
para a base
. Basicamente, vamos descobrir como esse vetor fica representado na outra base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
, multiplicados por 1 cada. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
na base canônica
, que é simplesmente
. Fazendo a conta:
Então, na base canônica,
é
.
Passo 4
Nosso próximo passo é expressar o vetor
na base
. Queremos encontrar os coeficientes
e
tais que:
Isso se traduz no seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Resposta
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.