Em cada um dos itens abaixo, verifique se f é contínua e derivável no ponto x_0, determinando f'(x0) quando for possível.
f(x) = { 4/5 * x^5, x > 1; x^4, x <= 1 }, x0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é contínua e derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, limites e derivadas. Vou te guiar passo a passo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos que:
  1. esteja bem definida.
  2. O limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) seja igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ).
  3. Esses limites sejam iguais a .

Passo 3

Vamos calcular . Segundo a função dada:
Como , usamos a segunda parte:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites laterais.
Limite pela esquerda ( ):
Usamos :
Limite pela direita ( ):
Usamos :

Passo 5

Comparando os limites:
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua no ponto , portanto, não é derivável nesse ponto.

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