Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente as regras de derivação como a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos uma função que é o produto de duas funções:
Como estamos lidando com o produto de duas funções, vamos usar a Regra do Produto para encontrar a derivada de .

Passo 3

A Regra do Produto diz que se , então a derivada é:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos começar derivando :
Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a Regra da Cadeia e a derivada da função exponencial com base diferente de .

Passo 5

A derivada de uma função exponencial é:
Aplicando isso em :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada da função é:

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Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
a)
Sejam e funções deriváveis em tais que para todo . Sabendo que e , calcule .
Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
b)
Em cada um dos itens abaixo, verifique se é contínua e derivável no ponto , determinando quando for possível.