Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta está contida no plano .
(ii) é a reta que passa pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente tem uma reta que passa pelos pontos e , e um plano definido por:
onde e são números reais. A questão é verificar se a reta está contida nesse plano .
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre geometria analítica, especificamente sobre como determinar se uma reta está dentro de um plano. Vamos verificar se os pontos da reta estão no plano e se a direção da reta está no plano também.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta . A direção de uma reta que passa por dois pontos e pode ser encontrada subtraindo as coordenadas de e :
Então, o vetor direção da reta é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os pontos e estão no plano . Para um ponto estar no plano , ele deve satisfazer a equação do plano:
Vamos tentar encontrar valores de e que satisfaçam e .

Verificando o ponto :

Temos:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação: \
Da terceira equação:
Somando as duas: => \
Substituindo na terceira: =>
Vamos verificar a segunda equação: ? Não, , então está ok.
Portanto, o ponto está no plano .

Verificando o ponto :

Temos:
Isso resulta no sistema de equações:
Da terceira equação: \
Da primeira equação:
Somando as duas: => \
Substituindo na terceira: =>
Vamos verificar a segunda equação:
Isso significa que não há solução que satisfaça todas as equações. Portanto, o ponto não está no plano .

Passo 4

Como o ponto da reta não está no plano , já podemos concluir que a reta não está completamente contida no plano . Para uma reta estar contida em um plano, todos os seus pontos devem estar no plano.
Além disso, mesmo que o ponto estivesse no plano, precisaríamos que a direção da reta também estivesse no plano. Mas como nem todos os pontos da reta estão no plano, não precisa verificar a direção.

Resposta

A reta não está contida no plano .

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso:
Nos itens abaixo, estude a posição relativa das retas e .
(i)
Dê uma equação geral do plano que contém a origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos e .
Dada a elipse , esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
(a) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices