Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas matrizes e de tamanho e pede para calcular o produto interno entre elas usando a fórmula . Isso envolve alguns conceitos de álgebra linear, como transposição de matrizes, multiplicação de matrizes e traço de uma matriz. Vamos precisar saber como transpor uma matriz, multiplicar duas matrizes e calcular o traço de uma matriz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz , denotada por , é uma nova matriz onde as linhas de viram colunas em . Então, vamos transpor a matriz :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a matriz transposta pela matriz . A multiplicação de matrizes funciona assim: o elemento na posição do resultado é a soma das multiplicações dos elementos da linha de pelos elementos da coluna de .
Vamos multiplicar:
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o traço da matriz resultante . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita).

Resposta

O produto interno é igual a 3.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, estude a posição relativa das retas e .
(i)
Suponha que e sejam vetores tais que

Em cada parte, calcule a expressão:
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta está contida no plano .
(ii) é a reta que passa pelos pontos e .
Dê uma equação geral do plano que contém a origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos e .