Sejam
e
matrizes
de um espaço vetorial
com produto interno
, calcule
em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas matrizes
e
de tamanho
e pede para calcular o produto interno entre elas usando a fórmula
. Isso envolve alguns conceitos de álgebra linear, como transposição de matrizes, multiplicação de matrizes e traço de uma matriz. Vamos precisar saber como transpor uma matriz, multiplicar duas matrizes e calcular o traço de uma matriz para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é uma nova matriz onde as linhas de
viram colunas em
. Então, vamos transpor a matriz
:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar a matriz transposta
pela matriz
. A multiplicação de matrizes funciona assim: o elemento na posição
do resultado é a soma das multiplicações dos elementos da linha
de
pelos elementos da coluna
de
.
Vamos multiplicar:
Calculando cada elemento:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o traço da matriz resultante
. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita).
Resposta
O produto interno
é igual a 3.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, estude a posição relativa das retas
e
.
(i)
(i)
Suponha que
e
sejam vetores tais que
Em cada parte, calcule a expressão:
Em cada parte, calcule a expressão:
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta
está contida no plano
.
(ii) é a reta que passa pelos pontos
e
.
(ii)
Dê uma equação geral do plano
que contém a origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos
e
.