Sejam U e V matrizes n times n de um espaço vetorial Mn n com produto interno lang<= U, Vrang<==tr(U^T V), calcule lang<= u, vrang<= em cada caso: u=[cc3 & -2 4 & 8], v=[cc-1 & 3 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas matrizes e de tamanho e pede para calcular o produto interno entre elas usando a fórmula . Isso envolve alguns conceitos de álgebra linear, como transposição de matrizes, multiplicação de matrizes e traço de uma matriz. Vamos precisar saber como transpor uma matriz, multiplicar duas matrizes e calcular o traço de uma matriz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz u = 3 & -2 4 & 8 implies u^T = 3 & 4 -2 & 8 , denotada por , é uma nova matriz onde as linhas de viram colunas em . Então, vamos transpor a matriz :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a matriz transposta u^T = 3 & 4 -2 & 8 , v = -1 & 3 1 & 1 pela matriz u^T v = (3 times -1) + (4 times 1) & (3 times 3) + (4 times 1) (-2 times -1) + (8 times 1) & (-2 times 3) + (8 times 1) . A multiplicação de matrizes funciona assim: o elemento na posição u^T v = -3 + 4 & 9 + 4 2 + 8 & -6 + 8 = 1 & 13 10 & 2 do resultado é a soma das multiplicações dos elementos da linha de pelos elementos da coluna de .
Vamos multiplicar:
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o traço da matriz resultante tr(u^T v) = 1 + 2 = 3 . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita).

Resposta

O produto interno é igual a 3.

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