Dada a elipse x^2169+y^2144=1, esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
(a) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a elipse . A gente vai precisar entender um pouco sobre as características das elipses, como os semieixos, focos e vértices. Basicamente, vamos identificar essas partes e calcular seus valores usando as fórmulas certas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os denominadores da equação da elipse. Na forma , é o semieixo maior e é o semieixo menor. Aqui, temos e .

Passo 3

Vamos calcular o semieixo maior. Como a = raiz169 = 13 , tiramos a raiz quadrada para achar :
Então, o comprimento do semieixo maior é 13 unidades.

Passo 4

Agora, vamos achar as coordenadas dos focos. Para elipses, a distância dos focos ao centro é c = raiz169 - 144 = raiz25 = 5 . Vamos calcular:
(pm 5, 0)
Os focos estão localizados a unidades ao longo do eixo maior. Como o eixo maior está no eixo , os focos são:
Então, as coordenadas dos focos são e .

Passo 5

Vamos calcular o semieixo menor. Sabemos que b = raiz144 = 12 , então:
Portanto, o comprimento do semieixo menor é 12 unidades.

Passo 6

Por fim, vamos determinar as coordenadas dos vértices. Os vértices estão localizados nas extremidades do semieixo maior. Já que o semieixo maior é 13 e está no eixo (pm 13, 0) , os vértices são:
Então, os vértices são e .

Resposta

(a) O comprimento do semieixo maior é 13 unidades.
(b) As coordenadas dos focos são e .
© O comprimento do semieixo menor é 12 unidades.
(d) As coordenadas dos vértices são e .

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