Dê uma equação geral do plano
que contém a origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que:
- Passa pela origem (ponto (0,0,0)).
- É perpendicular a uma reta que liga os pontos A=(1,1,1) e B=(2,1,-1).
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores normais. Vamos precisar identificar um vetor normal ao plano e usar a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta que passa pelos pontos A e B. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B para obter o vetor diretor v da reta.
Calculando o vetor diretor v:
Passo 3
Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta é normal ao plano. Ou seja, o vetor v que encontramos é o vetor normal
do plano.
Vetor normal n:
Passo 4
A equação geral de um plano é dada por:
Onde
são as componentes do vetor normal
, e
é um ponto pelo qual o plano passa.
Passo 5
Como o plano passa pela origem, o ponto
é
. Substituindo na equação do plano:
Passo 6
Simplificando a equação:
Resposta
A equação geral do plano
é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta
está contida no plano
.
(ii) é a reta que passa pelos pontos
e
.
(ii)
Sejam
e
matrizes
de um espaço vetorial
com produto interno
, calcule
em cada caso:
Dada a elipse
, esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
(a) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
(a) o comprimento do semieixo maior
(a) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Considere os planos
e
.
(i) Mostre que e
são concorrentes.
(i) Mostre que