Dê uma equação geral do plano que contém a origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que:
  1. Passa pela origem (ponto (0,0,0)).
  2. É perpendicular a uma reta que liga os pontos A=(1,1,1) e B=(2,1,-1).
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores normais. Vamos precisar identificar um vetor normal ao plano e usar a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta que passa pelos pontos A e B. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B para obter o vetor diretor v da reta.
Calculando o vetor diretor v:

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta é normal ao plano. Ou seja, o vetor v que encontramos é o vetor normal do plano.
Vetor normal n:

Passo 4

A equação geral de um plano é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal , e é um ponto pelo qual o plano passa.

Passo 5

Como o plano passa pela origem, o ponto é . Substituindo na equação do plano:

Passo 6

Simplificando a equação:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta está contida no plano .
(ii) é a reta que passa pelos pontos e .
Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso:
Dada a elipse , esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
(a) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Considere os planos e .
(i) Mostre que e são concorrentes.