Nos itens abaixo, estude a posição relativa das retas
e
.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço: a reta
definida por
onde
é um número real, e a reta
definida pelas equações
e
. Nosso objetivo é descobrir como essas duas retas estão posicionadas uma em relação à outra, ou seja, se elas são paralelas, se intersectam ou se são retas que não se encontram nem são paralelas (chamadas de retas cônicas). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como parametrizações de retas e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a reta
. Ela é definida por um sistema de duas equações:
Podemos resolver esse sistema para expressar
e
em função de
(ou de outro parâmetro). Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Então, podemos parametrizar a reta
usando
como parâmetro:
Passo 3
Agora que temos as duas retas parametrizadas, vamos compará-las para ver como elas se relacionam. As duas retas são:
Observamos que os vetores diretores das duas retas são iguais:
. Isso significa que as retas são paralelas ou coincidentes. Para verificar se são realmente coincidentes, precisamos ver se um ponto de uma reta pertence à outra.
Passo 4
Vamos verificar se o ponto
da reta
está na reta
. Para isso, substituímos
,
e
nas equações que definem
:
Como a primeira equação não é satisfeita, o ponto não pertence à reta
. Portanto, as retas não são coincidentes.
Passo 5
Como as retas têm o mesmo vetor diretor, mas não compartilham pontos, podemos concluir que elas são paralelas. Retas paralelas no espaço não se intersectam e têm vetores diretores proporcionais.
Resposta
As retas
e
são paralelas.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam vetores tais que
Em cada parte, calcule a expressão:
Em cada parte, calcule a expressão:
Considere as retas
e
.
(ii) Dê uma equação geral para os planos tais que
é paralelo a
.
(ii) Dê uma equação geral para os planos
Sejam
e
matrizes
de um espaço vetorial
com produto interno
, calcule
em cada caso:
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a reta
está contida no plano
.
(ii) é a reta que passa pelos pontos
e
.
(ii)