Determine e classifique os pontos críticos da função .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar e classificar os pontos críticos da função . Isso está dentro do tópico de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre pontos críticos e classificação de extremos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e então analisar a natureza desses pontos usando o Teste da Segunda Derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Para :
Para :
Passo 4
Combinando os valores de e que encontramos, os pontos críticos são:
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas: