Determine e classifique os pontos críticos da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar e classificar os pontos críticos da função . Isso está dentro do tópico de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre pontos críticos e classificação de extremos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e então analisar a natureza desses pontos usando o Teste da Segunda Derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Para :
Para :

Passo 4

Combinando os valores de e que encontramos, os pontos críticos são:

Passo 5

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 6

Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Ponto (1, 0):
    Como e , é um máximo local.
  2. Ponto (-1, 0):
    Como , é um ponto de sela.
  3. Ponto (1, 1):
    Como , é um ponto de sela.
  4. Ponto (1, -1):
    Como , é um ponto de sela.
  5. Ponto (-1, 1):
    Como e , é um mínimo local.
  6. Ponto (-1, -1):
    Como e , é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Máximo local
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela
  • : Mínimo local
  • : Mínimo local

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