Determine e classifique os pontos críticos da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar e classificar os pontos críticos da função
. Isso está dentro do tópico de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre pontos críticos e classificação de extremos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e então analisar a natureza desses pontos usando o Teste da Segunda Derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Para
:
Para
:
Passo 4
Combinando os valores de
e
que encontramos, os pontos críticos são:
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
-
Ponto (1, 0):Como
e , é um máximo local. -
Ponto (-1, 0):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (1, 1):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (1, -1):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (-1, 1):Como
e , é um mínimo local. -
Ponto (-1, -1):Como
e , é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
: Máximo local -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela -
: Mínimo local -
: Mínimo local