Em cada um dos itens classifique as equações diferenciais (tipo, ordem e linear/não linear). Depois verifique se as funções dadas são solução da equação diferencial.
(b)
. Res: EDO linear de primeira ordem. Sim. Não.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente classificar a equação diferencial dada em termos de tipo, ordem e se é linear ou não. Depois, temos que verificar se duas funções específicas são soluções dessa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais, como identificar a ordem, determinar se é linear e então substituir as funções na equação para ver se elas satisfazem a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Identificando a Ordem:
A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente na equação. Nesta equação, a derivada mais alta é , que é a primeira derivada. Portanto, a ordem da equação é 1.
A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente na equação. Nesta equação, a derivada mais alta é
Passo 4
Determinação da Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se pode ser colocada na forma:
Uma equação diferencial é linear se pode ser colocada na forma:
onde
,
e
são funções de
apenas, e
e suas derivadas aparecem na primeira potência e não são multiplicadas entre si.
Nossa equação:
Pode ser reescrita como:
Aqui,
,
, e
. Não há termos como
ou
, então a equação é linear.
Passo 5
Classificação Completa:
- Tipo: Equação Diferencial Ordinária (EDO), pois envolve derivadas em relação a uma única variável (
). - Ordem: Primeira ordem.
- Linearidade: Linear.
Passo 6
Agora, vamos verificar se as funções dadas são soluções da equação.
Função 1:
Primeiro, calculamos a derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Isso é igual a
, que é o lado direito da equação. Então,
é uma solução.
Função 2:
Calculando a derivada usando a regra do produto:
Substituindo na equação diferencial:
O lado direito da equação é
, que claramente não é igual a
. Portanto,
não é uma solução.
Resposta
- EDO linear de primeira ordem.
-
: Sim, é solução. -
: Não, não é solução.