Em cada um dos itens classifique as equações diferenciais (tipo, ordem e linear/não linear). Depois verifique se as funções dadas são solução da equação diferencial.
(b) t y' - y = t^2 ; y1(t) = 3t + t^2, y2(t) = t cos(t). Res: EDO linear de primeira ordem. Sim. Não.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente classificar a equação diferencial dada em termos de tipo, ordem e se é linear ou não. Depois, temos que verificar se duas funções específicas são soluções dessa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais, como identificar a ordem, determinar se é linear e então substituir as funções na equação para ver se elas satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a t.

Passo 3

Identificando a Ordem:
A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente na equação. Nesta equação, a derivada mais alta é y', que é a primeira derivada. Portanto, a ordem da equação é 1.

Passo 4

Determinação da Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se pode ser colocada na forma:
onde a(t), b(t) e c(t) são funções de t apenas, e y e suas derivadas aparecem na primeira potência e não são multiplicadas entre si.
Nossa equação:
Pode ser reescrita como:
Aqui, , , e . Não há termos como y^2 ou , então a equação é linear.

Passo 5

Classificação Completa:
  • Tipo: Equação Diferencial Ordinária (EDO), pois envolve derivadas em relação a uma única variável ( t).
  • Ordem: Primeira ordem.
  • Linearidade: Linear.

Passo 6

Agora, vamos verificar se as funções dadas são soluções da equação.
Função 1:
Primeiro, calculamos a derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Isso é igual a t^2, que é o lado direito da equação. Então, y1(t) é uma solução.
Função 2:
Calculando a derivada usando a regra do produto:
Substituindo na equação diferencial:
O lado direito da equação é t^2, que claramente não é igual a . Portanto, y2(t) não é uma solução.

Resposta

  • EDO linear de primeira ordem.
  • : Sim, é solução.
  • : Não, não é solução.

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