Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem:
Além disso, temos a condição inicial
. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a forma geral da equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Do lado direito, fazemos uma substituição para resolver a integral.
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito. Seja
, então
ou
. Assim:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Quando
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: