• y' - cos(t) y = t e^(t^2 + sen(t)), y(0) = 2
  • y' + x^4 * y = x^4 * e^(4 * x^5 / 5), y(0) = 1
  • y' + 2/t y = cos(t)/t^2, y(pi) = 0, t > 0

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem:
Além disso, temos a condição inicial . Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a forma geral da equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação diferencial por :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Do lado direito, fazemos uma substituição para resolver a integral.

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito. Seja , então ou . Assim:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Quando :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados